Lesson 6الدرس 6

Rational Expressionsالمقادير النسبية

Excluded values, reducing to lowest terms, multiplying, dividing, adding and subtracting rational expressions, and complex fractions.القيم المستثناة، الاختصار لأبسط صورة، ضرب المقادير النسبية وقسمتها وجمعها وطرحها، والكسور المركبة.

Practise 15 questionsتدرّب على 15 سؤالًا

Source materials for this lessonمصادر هذا الدرس

Lesson_6_Rational_Expressions.pdf
Radical Expressions - Exercises with Solutions.pdf
WS26- pm1 practice sheet.pdf (Q6)

Learning outcomesنواتج التعلم

01
Define and identify rational expressions.
تعريف المقادير النسبية والتعرف عليها.
02
Determine values of the variable that make a rational expression undefined.
تحديد قيم المتغير التي تجعل المقدار النسبي غير معرّف.
03
Simplify rational expressions to lowest terms.
تبسيط المقادير النسبية إلى أبسط صورة.
04
Multiply, divide, add and subtract rational expressions.
ضرب المقادير النسبية وقسمتها وجمعها وطرحها.

Visual guideدليل مرئي

Diagrams and graphs of the key ideas, drawn from the examples on the lesson slides.مخططات ورسوم بيانية للأفكار الأساسية، مرسومة من أمثلة شرائح الدرس.

Where is $\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 9}$ undefined?أين يكون $\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 9}$ غير معرّف؟

allowed valuesقيم مسموحة
excluded: the denominator would be 0مستثناة: يصبح المقام صفرًا

Set the original denominator to zero:

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3) = 0

, so

x = 3

x = - 3

are excluded (open circles). Every other real number is allowed — and the restrictions stay even after reducing to

\frac{x - 3}{x + 3}

نساوي المقام الأصلي بالصفر:

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3) = 0

، إذن تُستثنى

x = 3

x = - 3

(الدوائر المفرغة). كل الأعداد الحقيقية الأخرى مسموحة — وتبقى القيود حتى بعد الاختصار إلى

\frac{x - 3}{x + 3}

Lesson_6_Rational_Expressions.pdf, slides 4–5

Cancel factors — never termsاختصر العوامل — لا الحدود

✓

\frac{( x - 3 ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{x + 3}

✗

\frac{x + 3}{x + 5} \neq = \frac{3}{5}

Only a factor multiplying the whole numerator and the whole denominator can be cancelled. In

\frac{x + 3}{x + 5}

the

x

is a term joined by +, so nothing cancels.

لا يُختصر إلا عامل يضرب البسط كله والمقام كله. في

\frac{x + 3}{x + 5}

المتغير

x

حد مرتبط بالجمع فلا يُختصر شيء.

Lesson_6_Rational_Expressions.pdf, slides 5 & 7

Adding or subtracting with different denominatorsالجمع أو الطرح مع اختلاف المقامات

1

Factor every denominatorحلّل كل المقامات

$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$
2

Choose the LCD (highest power of each factor)اختر المقام المشترك الأصغر (أعلى قوة لكل عامل)

$(x - 3)^{2} (x + 3)$
3

Rewrite each fraction over the LCDأعد كتابة كل كسر على المقام المشترك

$\frac{( x + 3 ) ^{2}}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )}$
4

Combine numerators (brackets after a minus!)اجمع البسوط (ضع قوسًا بعد السالب!)

$- (x^{2} - x - 6)$
5

Simplify and state restrictionsبسّط واذكر القيود

$x \neq = 3, x \neq = - 3$

The five steps used in the worked example

\frac{x + 3}{x ^{2} - 6 x + 9} - \frac{x + 2}{x ^{2} - 9} - \frac{5}{3 - x}

الخطوات الخمس المستخدمة في المثال المحلول

\frac{x + 3}{x ^{2} - 6 x + 9} - \frac{x + 2}{x ^{2} - 9} - \frac{5}{3 - x}

Lesson_6_Rational_Expressions.pdf, slides 10–12

Explanationsالشرح

6.1 What is a rational expression?ما المقدار النسبي؟

Remember that a rational number is a quotient of integers. A rational expression is a quotient of two polynomials, $\frac{P}{Q}$ with $Q \neq = 0$ . Examples: $\frac{x - 2}{2 x ^{2} - 3 x + 5}$ , $\frac{1}{x ^{4} - 1}$ , $\frac{3}{x}$ , $\frac{x ^{2} + 3 x - 5}{1}$ .

تذكّر أن العدد النسبي هو ناتج قسمة عددين صحيحين. المقدار النسبي هو ناتج قسمة كثيرتي حدود $\frac{P}{Q}$ حيث $Q \neq = 0$ . أمثلة: $\frac{x - 2}{2 x ^{2} - 3 x + 5}$ و $\frac{1}{x ^{4} - 1}$ و $\frac{3}{x}$ و $\frac{x ^{2} + 3 x - 5}{1}$ .

6.2 When is a rational expression undefined?متى يكون المقدار النسبي غير معرّف؟

A rational expression is undefined when its denominator equals zero. Set the denominator equal to zero and solve: $\frac{x + 1}{x - 4}$ is undefined at $x = 4$ ; all other real values are allowed. These are the excluded values (restrictions).

يكون المقدار النسبي غير معرّف عندما يساوي مقامه صفرًا. نساوي المقام بالصفر ونحل: $\frac{x + 1}{x - 4}$ غير معرّف عند $x = 4$ ، وكل القيم الحقيقية الأخرى مسموحة. وتسمى هذه القيم المستثناة (القيود).

If the denominator can never be zero for real $x$ (e.g. $x^{2} + 5 \geq 5$ ), there is no excluded real value.
إذا كان المقام لا يساوي صفرًا أبدًا لأي $x$ حقيقي (مثل $x^{2} + 5 \geq 5$ ) فلا توجد قيمة حقيقية مستثناة.

6.3 Reducing to lowest termsالاختصار إلى أبسط صورة

Factor the numerator and denominator completely, cancel common factors (not individual terms), and state the excluded values from the original denominator.

نحلّل البسط والمقام تحليلًا تامًا، ونختصر العوامل المشتركة (لا الحدود المنفردة)، ونذكر القيم المستثناة من المقام الأصلي.

Only factors may be cancelled — never terms joined by addition or subtraction.
لا يُختصر إلا العوامل — ولا يجوز اختصار حدود مرتبطة بالجمع أو الطرح.

6.4 Multiplying and dividingالضرب والقسمة

Multiply: multiply numerators and denominators, then factor and cancel common factors. Divide: multiply by the reciprocal of the second expression (the divisor).

الضرب: نضرب البسوط والمقامات ثم نحلّل ونختصر العوامل المشتركة. القسمة: نضرب في مقلوب المقدار الثاني (المقسوم عليه).

6.5 Adding and subtractingالجمع والطرح

With the same denominator, add or subtract the numerators and keep the denominator. With different denominators, factor all denominators, find the least common denominator (LCD), rewrite each fraction, then combine the numerators.

عند تساوي المقامات نجمع البسوط أو نطرحها ونُبقي المقام. وعند اختلافها نحلّل جميع المقامات، ونجد المقام المشترك الأصغر، ونعيد كتابة كل كسر به، ثم نجمع البسوط.

Useful sign change: $- \frac{5}{3 - x} = \frac{5}{x - 3}$ .
تغيير إشارة مفيد: $- \frac{5}{3 - x} = \frac{5}{x - 3}$ .
When subtracting, put the second numerator in brackets so every sign changes.
عند الطرح نضع البسط الثاني بين قوسين حتى تتغير كل إشاراته.

6.6 Complex rational expressionsالمقادير النسبية المركبة

Method 1: multiply the numerator and denominator of the big fraction by the LCD of all the small denominators. Method 2: write the numerator and the denominator each as a single fraction, then divide (multiply by the reciprocal).

الطريقة 1: نضرب بسط الكسر الكبير ومقامه في المقام المشترك الأصغر لجميع المقامات الصغيرة. الطريقة 2: نكتب كلًّا من البسط والمقام ككسر واحد، ثم نقسم (نضرب في المقلوب).

Always keep track of restrictions from the original expression, including the inner denominators.
احتفظ دائمًا بالقيود من المقدار الأصلي، بما فيها المقامات الداخلية.

Key terms — English / Arabicالمصطلحات — إنجليزي / عربي

English	العربية
Rational expression	مقدار نسبي
Quotient of polynomials	ناتج قسمة كثيرتي حدود
Undefined	غير معرّف
Excluded values / restrictions	القيم المستثناة / القيود
Lowest terms	أبسط صورة
Cancel common factors	اختصار العوامل المشتركة
Reciprocal	المقلوب
Least common denominator (LCD)	المقام المشترك الأصغر
Complex rational expression	مقدار نسبي مركب

Formulas & rulesالقوانين والقواعد

Rational expressionالمقدار النسبي

\frac{P}{Q}, Q \neq = 0

Multiplyالضرب

\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A C}{B D}

Divideالقسمة

\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}

Same denominatorمقام واحد

\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}

Sign changeتغيير الإشارة

- \frac{5}{3 - x} = \frac{5}{x - 3}

Key factorisationsتحليلات أساسية

x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}, x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3), x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

Worked examplesأمثلة محلولة

Each step is explained in English, then in Arabic.كل خطوة مشروحة بالإنجليزية ثم بالعربية.

Example 1مثال 1

Reducing to lowest terms (A)الاختصار لأبسط صورة (أ)

Reduce

\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 9}

اختصر

\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 9}

1

$\frac{( x - 3 ) ^{2}}{( x - 3 ) ( x + 3 )}$

Factor top (perfect square) and bottom (difference of squares).
نحلّل البسط (مربع كامل) والمقام (فرق بين مربعين).
2

$\frac{x - 3}{x + 3}$

Cancel one common factor $(x - 3)$ .
نختصر عاملًا مشتركًا واحدًا $(x - 3)$ .

Answerالإجابة

\frac{x - 3}{x + 3}, x \neq = 3, x \neq = - 3

Lesson_6_Rational_Expressions.pdf, slide 5

Example 2مثال 2

Reducing with cubes (B)الاختصار مع المكعبات (ب)

Reduce

\frac{x ^{3} - 1}{x ^{2} - 1}

اختصر

\frac{x ^{3} - 1}{x ^{2} - 1}

1

$x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1), x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$

Difference of cubes and difference of squares.
فرق مكعبين وفرق مربعين.
2

$\frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1}$

Cancel $(x - 1)$ .
نختصر $(x - 1)$ .

Answerالإجابة

\frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1}, x \neq = 1, x \neq = - 1

Lesson_6_Rational_Expressions.pdf, slide 6

Example 3مثال 3

Multiplicationالضرب

Simplify

\frac{10 x ^{3} y}{3 x y + 9 y} \cdot \frac{x ^{2} - 9}{4 x ^{2} - 12 x}

بسّط

\frac{10 x ^{3} y}{3 x y + 9 y} \cdot \frac{x ^{2} - 9}{4 x ^{2} - 12 x}

1

$\frac{10 x ^{3} y ( x - 3 ) ( x + 3 )}{3 y ( x + 3 ) \cdot 4 x ( x - 3 )}$

Factor every polynomial and multiply.
نحلّل كل كثيرة حدود ونضرب.
2

$\frac{10 x ^{3}}{12 x} = \frac{5 x ^{2}}{6}$

Cancel $y$ , $(x - 3)$ , $(x + 3)$ and simplify.
نختصر $y$ و $(x - 3)$ و $(x + 3)$ ونبسّط.

Answerالإجابة

\frac{5 x ^{2}}{6}

Lesson_6_Rational_Expressions.pdf, slide 7

Example 4مثال 4

Division with a sign changeالقسمة مع تغيير الإشارة

Simplify

\frac{4 - 2 x}{4} \div (x - 2)

بسّط

\frac{4 - 2 x}{4} \div (x - 2)

1

$\frac{4 - 2 x}{4} \times \frac{1}{x - 2}$

Multiply by the reciprocal.
نضرب في المقلوب.
2

$\frac{- 2 ( x - 2 )}{4} \times \frac{1}{x - 2}$

Factor $4 - 2 x = - 2 (x - 2)$ .
نحلّل $4 - 2 x = - 2 (x - 2)$ .
3

$- \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}$

Cancel $(x - 2)$ .
نختصر $(x - 2)$ .

Answerالإجابة

- \frac{1}{2}, x \neq = 2

Lesson_6_Rational_Expressions.pdf, slide 8

Example 5مثال 5

Division with cubesالقسمة مع المكعبات

Simplify

\frac{2 x ^{3} - 2 x ^{2} y + 2 x y ^{2}}{x ^{3} y - x y ^{3}} \div \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} + 2 x y + y ^{2}}

بسّط

\frac{2 x ^{3} - 2 x ^{2} y + 2 x y ^{2}}{x ^{3} y - x y ^{3}} \div \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} + 2 x y + y ^{2}}

1

$\frac{2 x ( x ^{2} - x y + y ^{2} )}{x y ( x - y ) ( x + y )} \times \frac{( x + y ) ^{2}}{( x + y ) ( x ^{2} - x y + y ^{2} )}$

Factor each polynomial and multiply by the reciprocal.
نحلّل كل كثيرة حدود ونضرب في المقلوب.
2

$\frac{2 x}{x y ( x - y )}$

Cancel $(x^{2} - x y + y^{2})$ and $(x + y)^{2}$ .
نختصر $(x^{2} - x y + y^{2})$ و $(x + y)^{2}$ .
3

$\frac{2}{y ( x - y )}$

Cancel $x$ .
نختصر $x$ .

Answerالإجابة

\frac{2}{y ( x - y )}

Lesson_6_Rational_Expressions.pdf, slide 9

Example 6مثال 6

Adding and subtracting with an LCDالجمع والطرح بالمقام المشترك

Simplify

\frac{x + 3}{x ^{2} - 6 x + 9} - \frac{x + 2}{x ^{2} - 9} - \frac{5}{3 - x}

بسّط

\frac{x + 3}{x ^{2} - 6 x + 9} - \frac{x + 2}{x ^{2} - 9} - \frac{5}{3 - x}

1

$\frac{x + 3}{( x - 3 ) ^{2}} - \frac{x + 2}{( x - 3 ) ( x + 3 )} + \frac{5}{x - 3}$

Factor the denominators and use $- \frac{5}{3 - x} = \frac{5}{x - 3}$ .
نحلّل المقامات ونستخدم $- \frac{5}{3 - x} = \frac{5}{x - 3}$ .
2

$LCD = (x - 3)^{2} (x + 3)$

Choose the LCD.
نختار المقام المشترك الأصغر.
3

$\frac{( x + 3 ) ^{2} - ( x - 3 ) ( x + 2 ) + 5 ( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )}$

Rewrite each numerator over the LCD.
نعيد كتابة كل بسط على المقام المشترك.
4

$\frac{x ^{2} + 6 x + 9 - x ^{2} + x + 6 + 5 x ^{2} - 45}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )}$

Expand (the bracket after the minus changes sign).
نفك الأقواس (القوس بعد السالب تتغير إشاراته).

Answerالإجابة

\frac{5 x ^{2} + 7 x - 30}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )}, x \neq = 3, x \neq = - 3

Lesson_6_Rational_Expressions.pdf, slides 10–12

Example 7مثال 7

Complex rational expressionمقدار نسبي مركب

Simplify

\frac{\frac{2}{x} - 1}{\frac{4}{x ^{2}} - 1}

بسّط

\frac{\frac{2}{x} - 1}{\frac{4}{x ^{2}} - 1}

1

$\frac{x ^{2} ( \frac{2}{x} - 1 )}{x ^{2} ( \frac{4}{x ^{2}} - 1 )} = \frac{2 x - x ^{2}}{4 - x ^{2}}$

Method 1: multiply top and bottom by the LCD $x^{2}$ .
الطريقة 1: نضرب البسط والمقام في المقام المشترك $x^{2}$ .
2

$\frac{x ( 2 - x )}{( 2 - x ) ( 2 + x )}$

Factor.
نحلّل.
3

$\frac{x}{x + 2}$

Cancel $(2 - x)$ . Method 2 (single fractions then divide) gives the same result.
نختصر $(2 - x)$ . والطريقة 2 (كسر واحد ثم القسمة) تعطي النتيجة نفسها.

Answerالإجابة

\frac{x}{x + 2}, x \neq = 0, x \neq = 2, x \neq = - 2

Lesson_6_Rational_Expressions.pdf, slide 13

Practice exercisesتمارين تدريبية

Try each one on paper first, then reveal the answer and explanation.حاول حل كل تمرين على الورق أولًا، ثم اكشف الإجابة والشرح.

Interactive quizاختبار تفاعلي

Find the value(s) of

x

for which each expression is undefined:

\frac{3 x - 2}{( x - 1 ) ( 2 x + 1 )}

\frac{x ^{2} - 3}{x ^{2} - 3 x - 10}

\frac{x ^{2} + 3 x - 10}{x ^{2} + 5}

\frac{x ^{2} - 3}{x ^{2} + 6 x + 9}

أوجد قيمة (قيم)

x

التي تجعل كل مقدار غير معرّف:

\frac{3 x - 2}{( x - 1 ) ( 2 x + 1 )}

\frac{x ^{2} - 3}{x ^{2} - 3 x - 10}

\frac{x ^{2} + 3 x - 10}{x ^{2} + 5}

\frac{x ^{2} - 3}{x ^{2} + 6 x + 9}

Show answerاعرض الإجابة

x = 1, - \frac{1}{2}; x = 5, - 2; no real value; x = - 3

Set each denominator to zero:

(x - 5) (x + 2)

x^{2} + 5 > 0

always,

(x + 3)^{2}

نساوي كل مقام بالصفر:

(x - 5) (x + 2)

، و

x^{2} + 5 > 0

دائمًا، و

(x + 3)^{2}

Radical Expressions - Exercises with Solutions.pdf (contains the Lesson 6 Rational Expressions worksheet), Q1(b)–(e)

Reduce:

\frac{x ^{2} + 9 x + 20}{2 x + 8}

\frac{3 x - 12}{3 x ^{2} - 12 x}

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} + 2 x - 15}

اختصر:

\frac{x ^{2} + 9 x + 20}{2 x + 8}

\frac{3 x - 12}{3 x ^{2} - 12 x}

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} + 2 x - 15}

Show answerاعرض الإجابة

\frac{x + 5}{2}; \frac{1}{x}; \frac{x - 2}{x + 5}

\frac{( x + 4 ) ( x + 5 )}{2 ( x + 4 )}

x \neq = - 4

;

\frac{3 ( x - 4 )}{3 x ( x - 4 )}

x \neq = 0, 4

;

\frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x + 5 ) ( x - 3 )}

x \neq = - 5, 3

\frac{( x + 4 ) ( x + 5 )}{2 ( x + 4 )}

حيث

x \neq = - 4

؛ و

\frac{3 ( x - 4 )}{3 x ( x - 4 )}

حيث

x \neq = 0, 4

؛ و

\frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x + 5 ) ( x - 3 )}

حيث

x \neq = - 5, 3

Radical Expressions - Exercises with Solutions.pdf (contains the Lesson 6 Rational Expressions worksheet), Q2(b), (e), (f)

Simplify

\frac{3}{y + 5} + \frac{y}{y ^{2} + 7 y + 10}

and

\frac{1}{x} - \frac{2}{x + 2} - \frac{2}{x ^{2} + 3 x + 2}

بسّط

\frac{3}{y + 5} + \frac{y}{y ^{2} + 7 y + 10}

\frac{1}{x} - \frac{2}{x + 2} - \frac{2}{x ^{2} + 3 x + 2}

Show answerاعرض الإجابة

\frac{4 y + 6}{( y + 5 ) ( y + 2 )}; \frac{1 - x}{x ( x + 1 )}

LCD

(y + 5) (y + 2)

3 (y + 2) + y = 4 y + 6

. LCD

x (x + 1) (x + 2)

(x + 1) (x + 2) - 2 x (x + 1) - 2 x = - x^{2} - x + 2 = - (x + 2) (x - 1)

, then cancel

(x + 2)

المقام المشترك

(y + 5) (y + 2)

3 (y + 2) + y = 4 y + 6

. والمقام المشترك

x (x + 1) (x + 2)

(x + 1) (x + 2) - 2 x (x + 1) - 2 x = - x^{2} - x + 2 = - (x + 2) (x - 1)

، ثم نختصر

(x + 2)

Radical Expressions - Exercises with Solutions.pdf (contains the Lesson 6 Rational Expressions worksheet), Q3(e), (f)

Multiply/divide:

\frac{6 x - 18}{4 x ^{2}} \times \frac{x ^{3}}{2 x - 6}

and

\frac{m ^{2} - 2 m - 8}{8 m + 24} \div \frac{2 m - 8}{m ^{2} + 7 m + 12}

اضرب/اقسم:

\frac{6 x - 18}{4 x ^{2}} \times \frac{x ^{3}}{2 x - 6}

\frac{m ^{2} - 2 m - 8}{8 m + 24} \div \frac{2 m - 8}{m ^{2} + 7 m + 12}

Show answerاعرض الإجابة

\frac{3 x}{4}; \frac{( m + 2 ) ( m + 4 )}{16}

\frac{6 ( x - 3 ) x ^{3}}{4 x ^{2} \cdot 2 ( x - 3 )} = \frac{6 x ^{3}}{8 x ^{2}} = \frac{3 x}{4}

. Second:

\frac{( m - 4 ) ( m + 2 )}{8 ( m + 3 )} \times \frac{( m + 3 ) ( m + 4 )}{2 ( m - 4 )}

\frac{6 ( x - 3 ) x ^{3}}{4 x ^{2} \cdot 2 ( x - 3 )} = \frac{6 x ^{3}}{8 x ^{2}} = \frac{3 x}{4}

. والثاني:

\frac{( m - 4 ) ( m + 2 )}{8 ( m + 3 )} \times \frac{( m + 3 ) ( m + 4 )}{2 ( m - 4 )}

Radical Expressions - Exercises with Solutions.pdf (contains the Lesson 6 Rational Expressions worksheet), Q4(b), Q5(c)

Simplify the complex fractions

\frac{x - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}

and

\frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{15}{x ^{2}}}{1 + \frac{4}{x} - \frac{5}{x ^{2}}}

بسّط الكسرين المركبين

\frac{x - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}

\frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{15}{x ^{2}}}{1 + \frac{4}{x} - \frac{5}{x ^{2}}}

Show answerاعرض الإجابة

x + 1; \frac{x - 3}{x - 1}

\frac{x ^{2} - 1}{x} \times \frac{x}{x - 1} = x + 1

(

x \neq = 0, 1

). Multiply the second by

x^{2}

\frac{x ^{2} + 2 x - 15}{x ^{2} + 4 x - 5} = \frac{( x + 5 ) ( x - 3 )}{( x + 5 ) ( x - 1 )}

(

x \neq = 0, - 5, 1

\frac{x ^{2} - 1}{x} \times \frac{x}{x - 1} = x + 1

(

x \neq = 0, 1

). ونضرب الثاني في

x^{2}

\frac{x ^{2} + 2 x - 15}{x ^{2} + 4 x - 5} = \frac{( x + 5 ) ( x - 3 )}{( x + 5 ) ( x - 1 )}

(

x \neq = 0, - 5, 1

Radical Expressions - Exercises with Solutions.pdf (contains the Lesson 6 Rational Expressions worksheet), Q6(a), (f)

Simplify

(\frac{x}{x ^{2} - 16} - \frac{1}{x + 4}) \div \frac{4}{x + 4}

بسّط

(\frac{x}{x ^{2} - 16} - \frac{1}{x + 4}) \div \frac{4}{x + 4}

Show answerاعرض الإجابة

\frac{1}{x - 4}, x \neq = \pm 4

Inside:

\frac{x - ( x - 4 )}{( x - 4 ) ( x + 4 )} = \frac{4}{( x - 4 ) ( x + 4 )}

; then multiply by

\frac{x + 4}{4}

داخل القوس:

\frac{x - ( x - 4 )}{( x - 4 ) ( x + 4 )} = \frac{4}{( x - 4 ) ( x + 4 )}

؛ ثم نضرب في

\frac{x + 4}{4}

Radical Expressions - Exercises with Solutions.pdf (contains the Lesson 6 Rational Expressions worksheet), Q6(d)

Practice sheet Q6: simplify

\frac{8 x - 3}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}

and

\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 4 x - 5} \div \frac{x - 1}{x + 1}

ورقة التدريب س6: بسّط

\frac{8 x - 3}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}

\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 4 x - 5} \div \frac{x - 1}{x + 1}

Show answerاعرض الإجابة

\frac{7 x ^{2} + 15 x - 6}{( x - 2 ) ( x + 2 )}; \frac{x + 1}{x - 5}

(8 x - 3) (x + 2) - x (x - 2) = 8 x^{2} + 13 x - 6 - x^{2} + 2 x = 7 x^{2} + 15 x - 6

(

x \neq = \pm 2

). Second:

\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 5 ) ( x + 1 )} \times \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x + 1}{x - 5}

(

x \neq = 5, - 1, 1

(8 x - 3) (x + 2) - x (x - 2) = 8 x^{2} + 13 x - 6 - x^{2} + 2 x = 7 x^{2} + 15 x - 6

(

x \neq = \pm 2

). والثاني:

\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 5 ) ( x + 1 )} \times \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x + 1}{x - 5}

(

x \neq = 5, - 1, 1

No printed solution in the source — worked using the lesson methods.لا يوجد حل مطبوع في المصدر — حُلّ بطرق الدرس.

WS26- pm1 practice sheet.pdf, Q6

Source notesملاحظات المصادر

The file named "Radical Expressions - Exercises with Solutions.pdf" actually contains the Lesson 6 Rational Expressions worksheet (pages 61–62).
الملف المسمى "Radical Expressions - Exercises with Solutions.pdf" يحتوي فعليًا على ورقة عمل الدرس 6 للمقادير النسبية (الصفحتان 61–62).
Worksheet Q2(a) is printed as $\frac{2 x + 64}{x - 12}$ , but its solution factors it as $\frac{2 ( x + 3 )}{4 ( x - 3 )}$ , so the intended expression is $\frac{2 x + 6}{4 x - 12} = \frac{x + 3}{2 ( x - 3 )}$ , $x \neq = 3$ .
السؤال 2(a) في ورقة العمل مطبوع $\frac{2 x + 64}{x - 12}$ ، لكن حله يحلله إلى $\frac{2 ( x + 3 )}{4 ( x - 3 )}$ ، فالمقصود $\frac{2 x + 6}{4 x - 12} = \frac{x + 3}{2 ( x - 3 )}$ حيث $x \neq = 3$ .
In the practice sheet, Q6 is labelled "Lesson 3", but its content is Lesson 6.
في ورقة التدريب، السؤال 6 معنون "Lesson 3" لكن محتواه من الدرس 6.

Learning outcomesنواتج التعلم

Visual guideدليل مرئي

Where is x2−9x2−6x+9​ undefined?أين يكون x2−9x2−6x+9​ غير معرّف؟

Cancel factors — never termsاختصر العوامل — لا الحدود

Adding or subtracting with different denominatorsالجمع أو الطرح مع اختلاف المقامات

Explanationsالشرح

6.1 What is a rational expression?ما المقدار النسبي؟

6.2 When is a rational expression undefined?متى يكون المقدار النسبي غير معرّف؟

6.3 Reducing to lowest termsالاختصار إلى أبسط صورة

6.4 Multiplying and dividingالضرب والقسمة

6.5 Adding and subtractingالجمع والطرح

6.6 Complex rational expressionsالمقادير النسبية المركبة

Key terms — English / Arabicالمصطلحات — إنجليزي / عربي

Formulas & rulesالقوانين والقواعد

Worked examplesأمثلة محلولة

Reducing to lowest terms (A)الاختصار لأبسط صورة (أ)

Reducing with cubes (B)الاختصار مع المكعبات (ب)

Multiplicationالضرب

Division with a sign changeالقسمة مع تغيير الإشارة

Division with cubesالقسمة مع المكعبات

Adding and subtracting with an LCDالجمع والطرح بالمقام المشترك

Complex rational expressionمقدار نسبي مركب

Practice exercisesتمارين تدريبية

Source notesملاحظات المصادر

Where is $\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 9}$ undefined?أين يكون $\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 9}$ غير معرّف؟