Lesson 5الدرس 5

Polynomialsكثيرات الحدود

Polynomial vocabulary, operations, factoring, special products, long and synthetic division, remainder and factor theorems, zeros and the rational zero theorem.مفردات كثيرات الحدود، العمليات عليها، التحليل، الضرب الخاص، القسمة المطولة والتركيبية، نظريتا الباقي والعامل، الأصفار ونظرية الأصفار النسبية.

Practise 20 questionsتدرّب على 20 سؤالًا

Source materials for this lessonمصادر هذا الدرس

Polynomials_Lesson 5.pdf
Lesson 5 - Polynomials - Full Solutions__All.pdf
WS26- pm1 practice sheet.pdf (Q5)

Learning outcomesنواتج التعلم

01
Recognise polynomials, their degree and leading term, and perform operations on them.
التعرف على كثيرات الحدود ودرجتها وحدها الرئيسي وإجراء العمليات عليها.
02
Factor by common factors, grouping, second-degree methods and special formulas.
التحليل بالعامل المشترك والتجميع وطرق الدرجة الثانية والصيغ الخاصة.
03
Divide polynomials and use the remainder, factor and rational zero theorems.
قسمة كثيرات الحدود واستخدام نظرية الباقي ونظرية العامل ونظرية الأصفار النسبية.

Visual guideدليل مرئي

Diagrams and graphs of the key ideas, drawn from the examples on the lesson slides.مخططات ورسوم بيانية للأفكار الأساسية، مرسومة من أمثلة شرائح الدرس.

Degree and leading termالدرجة والحد الرئيسي

3 x^{2} y

degreeالدرجة

2 + 1 = 3

- 3 x y

degreeالدرجة

1 + 1 = 2

- 4

degreeالدرجة

0

Leading term $3 x^{2} y$ · degree 3الحد الرئيسي $3 x^{2} y$ · الدرجة 3

For several variables, add the powers in each term. The highest term degree (3) is the degree of the polynomial, and that term is the leading term.

مع عدة متغيرات نجمع الأسس في كل حد. أعلى درجة (3) هي درجة كثيرة الحدود، وذلك الحد هو الحد الرئيسي.

Polynomials_Lesson 5.pdf, slide 5

Synthetic division step by stepالقسمة التركيبية خطوة بخطوة

−3 240−5 ↓−66−18 2−26−23

previous result × rالناتج السابق × r
quotient coefficientsمعاملات ناتج القسمة
remainderالباقي

Divide

2 x^{3} + 4 x^{2} - 5

x + 3

, so

r = - 3

(write 0 for the missing

x

term). Bring down, multiply by

r

, add, repeat. Quotient

2 x^{2} - 2 x + 6

, remainder

- 23

نقسم

2 x^{3} + 4 x^{2} - 5

على

x + 3

أي

r = - 3

(نكتب 0 للحد

x

الناقص). ننزل ونضرب في

r

ونجمع ونكرر. ناتج القسمة

2 x^{2} - 2 x + 6

والباقي

- 23

Polynomials_Lesson 5.pdf, slides 19–20

Zeros on a graph: $P (x) = (x - 2)^{2} (x + 4)$ الأصفار على الرسم البياني: $P (x) = (x - 2)^{2} (x + 4)$

The real zeros are where the graph meets the

x

-axis:

x = - 4

and

x = 2

. Because

(x - 2)

appears twice,

x = 2

is a repeated zero — the graph touches the axis there and turns back.

الأصفار الحقيقية هي نقاط التقاء المنحنى بمحور

x

x = - 4

x = 2

. ولأن

(x - 2)

يتكرر مرتين فإن

x = 2

صفر مكرر — يلمس المنحنى المحور عنده ويرتد.

Polynomials_Lesson 5.pdf, slide 24 (graph drawn from the slide's polynomial)

Rational zeros: $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ الأصفار النسبية: $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$

The candidates were

\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6

; testing found

P (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 2)

, so the graph crosses the

x

-axis at

- 2

1

and

3

الاحتمالات كانت

\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6

، وبالاختبار وجدنا

P (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 2)

، فيقطع المنحنى محور

x

عند

- 2

1

3

Polynomials_Lesson 5.pdf, slide 26 (graph drawn from the slide's polynomial)

Explanationsالشرح

5.1 What is a polynomial?ما كثيرة الحدود؟

A polynomial is an algebraic expression made of constants, variables, and the operations of addition, subtraction, multiplication and raising variables to natural-number powers — but not division by a variable. Examples: $4 x^{2} - 3$ , $3 x^{2} y + 2 x y - x^{2}$ , $\frac{x}{3} + 2$ .

كثيرة الحدود مقدار جبري مكوّن من ثوابت ومتغيرات وعمليات الجمع والطرح والضرب ورفع المتغيرات إلى قوى طبيعية — لكن دون القسمة على متغير. أمثلة: $4 x^{2} - 3$ و $3 x^{2} y + 2 x y - x^{2}$ و $\frac{x}{3} + 2$ .

Not polynomials: $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ (negative exponent), $x^{- 3} + 2 x$ , $x + 1$ or $x = x^{1/2}$ (fractional exponent), $x^{2/3} + 4$ , $\frac{x + 1}{x - 2}$ and $\frac{3}{x ^{2} + 1}$ (variable in the denominator), $2^{x} + 1$ and $x^{x} + 3$ (variable in the exponent).
ليست كثيرات حدود: $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ (أس سالب)، و $x^{- 3} + 2 x$ ، و $x + 1$ أو $x = x^{1/2}$ (أس كسري)، و $x^{2/3} + 4$ ، و $\frac{x + 1}{x - 2}$ و $\frac{3}{x ^{2} + 1}$ (المتغير في المقام)، و $2^{x} + 1$ و $x^{x} + 3$ (المتغير في الأس).
Monomial — one term ( $5 x^{2}$ ); binomial — two terms ( $3 x - 4$ ); trinomial — three terms ( $x^{2} - 3 x - 4$ ).
أحادي الحد — حد واحد ( $5 x^{2}$ )؛ ثنائي الحد — حدان ( $3 x - 4$ )؛ ثلاثي الحد — ثلاثة حدود ( $x^{2} - 3 x - 4$ ).
Degree of a one-variable term is its power; with several variables it is the sum of the powers. The degree of the polynomial is the highest term degree, and that term is the leading term: $3 x^{2} y - 3 x y - 4$ has degree 3 and leading term $3 x^{2} y$ .
درجة الحد ذي المتغير الواحد هي أسه؛ ومع عدة متغيرات هي مجموع الأسس. درجة كثيرة الحدود هي أعلى درجة بين حدودها، وذلك الحد هو الحد الرئيسي: $3 x^{2} y - 3 x y - 4$ درجتها 3 وحدها الرئيسي $3 x^{2} y$ .
General form: $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ with $a_{n} \neq = 0$ , written in descending powers; $a_{n}$ is the leading coefficient. E.g. $4 x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 5$ has degree 3.
الصورة العامة: $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ حيث $a_{n} \neq = 0$ ، وتُكتب بقوى تنازلية؛ و $a_{n}$ هو المعامل الرئيسي. مثلًا $4 x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 5$ من الدرجة 3.

5.2 Adding, subtracting and multiplying polynomialsجمع كثيرات الحدود وطرحها وضربها

Add or subtract by combining like terms. Multiply by distributing every term of one polynomial across every term of the other, then combine like terms: $(2 x^{2} + 3 x - 4) (x + 5) = 2 x^{3} + 13 x^{2} + 11 x - 20$ .

نجمع أو نطرح بتجميع الحدود المتشابهة. ونضرب بتوزيع كل حد من كثيرة الحدود الأولى على كل حد من الثانية ثم نجمع الحدود المتشابهة: $(2 x^{2} + 3 x - 4) (x + 5) = 2 x^{3} + 13 x^{2} + 11 x - 20$ .

5.3 Factoring polynomial expressionsتحليل كثيرات الحدود

Common factor: find the greatest numerical common factor and the lowest power of each common variable, then take it outside the brackets: $6 x^{5} + 15 x^{4} - 24 x^{3} = 3 x^{3} (2 x^{2} + 5 x - 8)$ .

العامل المشترك: نجد أكبر عامل عددي مشترك وأصغر قوة لكل متغير مشترك، ثم نخرجه خارج الأقواس: $6 x^{5} + 15 x^{4} - 24 x^{3} = 3 x^{3} (2 x^{2} + 5 x - 8)$ .

Grouping: group the first two and last two terms, factor each group, then take out the common bracket: $3 y^{2} - 9 y + 4 y - 12 = 3 y (y - 3) + 4 (y - 3) = (y - 3) (3 y + 4)$ .
التجميع: نجمع أول حدين وآخر حدين، ونحلّل كل مجموعة، ثم نخرج القوس المشترك: $3 y^{2} - 9 y + 4 y - 12 = 3 y (y - 3) + 4 (y - 3) = (y - 3) (3 y + 4)$ .
**Second degree $a x^{2} + b x + c$ (trial):** find $(_x +_) (_x +_)$ where the first terms multiply to $a$ , the second terms multiply to $c$ , and the outer + inner products add to $b$ .
**الدرجة الثانية $a x^{2} + b x + c$ (التجربة):** نبحث عن $(_x +_) (_x +_)$ بحيث يكون حاصل ضرب الحدين الأولين $a$ ، وحاصل ضرب الحدين الثانيين $c$ ، ومجموع حاصلي الضرب الخارجي والداخلي $b$ .
Second degree (splitting the middle term): find $m, n$ with $mn = a c$ and $m + n = b$ , split $b x$ into $m x + n x$ , then factor by grouping.
الدرجة الثانية (تجزئة الحد الأوسط): نجد $m, n$ بحيث $mn = a c$ و $m + n = b$ ، ونجزّئ $b x$ إلى $m x + n x$ ، ثم نحلّل بالتجميع.

5.4 Special factoring and product formulasصيغ التحليل والضرب الخاصة

To factor (or expand), identify $a$ and $b$ and substitute into the appropriate formula: perfect square trinomials, difference of squares, difference and sum of cubes, and the square and cube of a two-term expression.

للتحليل (أو الفك) نحدد $a$ و $b$ ثم نعوّض في الصيغة المناسبة: المربع الكامل، الفرق بين مربعين، الفرق بين مكعبين ومجموعهما، ومربع ومكعب مقدار ذي حدين.

A sum of squares such as $x^{2} + 1$ does not factor over the reals; in Lesson 5 it gives the non-real zeros $\pm i$ where $i = - 1$ .
مجموع مربعين مثل $x^{2} + 1$ لا يتحلل في الأعداد الحقيقية؛ وفي الدرس 5 يعطي الصفرين غير الحقيقيين $\pm i$ حيث $i = - 1$ .

5.5 Long division and synthetic divisionالقسمة المطولة والقسمة التركيبية

Long division: write dividend and divisor in descending powers and insert 0 for missing terms; divide the first terms; multiply the result by the whole divisor and subtract; bring down the next term; repeat until the remainder has a lower degree than the divisor.

القسمة المطولة: نكتب المقسوم والمقسوم عليه بقوى تنازلية ونضع 0 معاملًا للحدود الناقصة؛ نقسم الحد الأول على الحد الأول؛ نضرب الناتج في المقسوم عليه كاملًا ونطرح؛ ننزل الحد التالي؛ ونكرر حتى تصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.

Synthetic division by $x - r$ : line up the dividend coefficients (zeros for missing terms) with $r$ on the left; bring down the first coefficient; multiply by $r$ , write under the next coefficient and add; repeat. The last number is the remainder $R$ ; the others are the quotient coefficients (one degree lower).
القسمة التركيبية على $x - r$ : نصف معاملات المقسوم (مع أصفار للحدود الناقصة) ونضع $r$ على اليسار؛ ننزل المعامل الأول؛ نضربه في $r$ ونكتبه تحت المعامل التالي ونجمع؛ ونكرر. العدد الأخير هو الباقي $R$ ، والبقية معاملات ناتج القسمة (بدرجة أقل بواحد).
For $x + 3$ , use $r = - 3$ (because $x + 3 = x - (- 3)$ ).
للقسمة على $x + 3$ نستخدم $r = - 3$ (لأن $x + 3 = x - (- 3)$ ).

5.6 Remainder theorem, factor theorem and zerosنظرية الباقي ونظرية العامل والأصفار

Remainder theorem: if $P (x)$ is divided by $(x - r)$ , the remainder is $R = P (r)$ . Factor theorem: $x - r$ is a factor of $P (x)$ if and only if $P (r) = 0$ ( $r$ is then a zero of $P$ ).

نظرية الباقي: إذا قُسمت $P (x)$ على $(x - r)$ فإن الباقي $R = P (r)$ . نظرية العامل: يكون $x - r$ عاملًا من عوامل $P (x)$ إذا وفقط إذا كان $P (r) = 0$ (وعندها $r$ صفر لكثيرة الحدود).

A zero of a polynomial is a value of $x$ that makes it 0: set it equal to 0 and solve. In $P (x) = (x - 2)^{2} (x + 4)$ the real zeros are $2$ (a repeated zero) and $- 4$ .
صفر كثيرة الحدود قيمة لـ $x$ تجعلها تساوي 0: نساويها بالصفر ونحل. في $P (x) = (x - 2)^{2} (x + 4)$ الصفران الحقيقيان هما $2$ (صفر مكرر) و $- 4$ .
Rational zero theorem: if $\frac{p}{q}$ (simplest form) is a zero of $P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}$ , then $p$ is a factor of the constant term $a_{0}$ and $q$ is a factor of the leading coefficient $a_{n}$ . Possible rational zeros $= \frac{factors of a _{0}}{factors of a _{n}}$ — test them with the factor theorem / synthetic division (not all candidates are zeros!).
نظرية الأصفار النسبية: إذا كان $\frac{p}{q}$ (في أبسط صورة) صفرًا لـ $P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}$ فإن $p$ عامل من عوامل الحد الثابت $a_{0}$ و $q$ عامل من عوامل المعامل الرئيسي $a_{n}$ . الأصفار النسبية المحتملة = (عوامل $a_{0}$ ) ÷ (عوامل $a_{n}$ ) — ونختبرها بنظرية العامل أو القسمة التركيبية (فليست كل الاحتمالات أصفارًا!).

Key terms — English / Arabicالمصطلحات — إنجليزي / عربي

English	العربية
Polynomial	كثيرة حدود
Monomial / binomial / trinomial	أحادي الحد / ثنائي الحد / ثلاثي الحد
Degree	الدرجة
Leading term / leading coefficient	الحد الرئيسي / المعامل الرئيسي
Descending powers	قوى تنازلية
Factoring	التحليل إلى العوامل
Common factor	العامل المشترك
Grouping	التجميع
Perfect square trinomial	ثلاثي حدود مربع كامل
Difference of squares	الفرق بين مربعين
Sum / difference of cubes	مجموع / فرق مكعبين
Long division	القسمة المطولة
Synthetic division	القسمة التركيبية
Dividend, divisor, quotient, remainder	المقسوم، المقسوم عليه، ناتج القسمة، الباقي
Remainder theorem	نظرية الباقي
Factor theorem	نظرية العامل
Zero of a polynomial (root)	صفر كثيرة الحدود (جذر)
Repeated zero	صفر مكرر
Rational zero (root) theorem	نظرية الأصفار (الجذور) النسبية

Formulas & rulesالقوانين والقواعد

Perfect square (sum)مربع كامل (مجموع)

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

Perfect square (difference)مربع كامل (فرق)

a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

Difference of squaresالفرق بين مربعين

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Difference of cubesالفرق بين مكعبين

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

Sum of cubesمجموع مكعبين

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

Cube of a sumمكعب مجموع

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Cube of a differenceمكعب فرق

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Remainder theoremنظرية الباقي

P (x) \div (x - r) \Rightarrow R = P (r)

Factor theoremنظرية العامل

(x - r) is a factor ⟺ P (r) = 0

Possible rational zerosالأصفار النسبية المحتملة

\frac{p}{q} = \frac{factors of the constant term}{factors of the leading coefficient}

Worked examplesأمثلة محلولة

Each step is explained in English, then in Arabic.كل خطوة مشروحة بالإنجليزية ثم بالعربية.

Example 1مثال 1

Factor a second-degree polynomial (splitting the middle term)تحليل كثيرة حدود من الدرجة الثانية (تجزئة الحد الأوسط)

Factor

6 x^{2} - x - 2

حلّل

6 x^{2} - x - 2

1

$a = 6, b = - 1, c = - 2$

Identify $a$ , $b$ and $c$ .
نحدد $a$ و $b$ و $c$ .
2

$mn = a c = - 12, m + n = - 1 \Rightarrow m = 3, n = - 4$

Find $m$ and $n$ .
نجد $m$ و $n$ .
3

$6 x^{2} + 3 x - 4 x - 2$

Split the middle term.
نجزّئ الحد الأوسط.
4

$3 x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)$

Factor by grouping.
نحلّل بالتجميع.
5

$(2 x + 1) (3 x - 2)$

Take out the common bracket. Check: outer + inner $= 3 x - 4 x = - x$ .
نخرج القوس المشترك. التحقق: الخارجي + الداخلي $= 3 x - 4 x = - x$ .

Answerالإجابة

(3 x - 2) (2 x + 1)

Polynomials_Lesson 5.pdf, slides 13–14

Example 2مثال 2

Long divisionالقسمة المطولة

Divide

2 x^{3} + 4 x^{2} - 5

x + 3

اقسم

2 x^{3} + 4 x^{2} - 5

على

x + 3

1

$2 x^{3} + 4 x^{2} + 0 x - 5$

Insert $0 x$ for the missing term.
نضع $0 x$ مكان الحد الناقص.
2

$\frac{2 x ^{3}}{x} = 2 x^{2}; 2 x^{2} (x + 3) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Subtract: $4 x^{2} - 6 x^{2} = - 2 x^{2}$ ; bring down $0 x$ .
نطرح: $4 x^{2} - 6 x^{2} = - 2 x^{2}$ ؛ وننزل $0 x$ .
3

$\frac{- 2 x ^{2}}{x} = - 2 x; - 2 x (x + 3) = - 2 x^{2} - 6 x$

Subtract: $0 x - (- 6 x) = 6 x$ ; bring down $- 5$ .
نطرح: $0 x - (- 6 x) = 6 x$ ؛ وننزل $- 5$ .
4

$\frac{6 x}{x} = 6; 6 (x + 3) = 6 x + 18$

Subtract: $- 5 - 18 = - 23$ — the remainder.
نطرح: $- 5 - 18 = - 23$ — وهذا الباقي.

Answerالإجابة

\frac{2 x ^{3} + 4 x ^{2} - 5}{x + 3} = 2 x^{2} - 2 x + 6 + \frac{- 23}{x + 3}

Polynomials_Lesson 5.pdf, slide 18

Example 3مثال 3

Synthetic division (same example)القسمة التركيبية (المثال نفسه)

Divide

P (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 5

x + 3

using synthetic division.

اقسم

P (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 5

على

x + 3

بالقسمة التركيبية.

1

$r = - 3; 240 - 5$

Coefficients with 0 for the missing $x$ term.
المعاملات مع 0 للحد $x$ الناقص.
2

$2 \to 2 (- 3) = - 6, 4 + (- 6) = - 2$

Bring down 2, multiply by $r$ , add.
ننزل 2 ونضرب في $r$ ونجمع.
3

$- 2 (- 3) = 6, 0 + 6 = 6; 6 (- 3) = - 18, - 5 - 18 = - 23$

Repeat to the end.
نكرر حتى النهاية.

Answerالإجابة

Q (x) = 2 x^{2} - 2 x + 6, R = - 23

Polynomials_Lesson 5.pdf, slide 20

Example 4مثال 4

Remainder theoremنظرية الباقي

Find the remainder when

P (x) = 3 x^{2} - x - 10

is divided by

x + 2

أوجد باقي قسمة

P (x) = 3 x^{2} - x - 10

على

x + 2

1

$x - r = x + 2 \Rightarrow r = - 2$

Identify $r$ .
نحدد $r$ .
2

$P (- 2) = 3 (4) + 2 - 10 = 4$

Substitute $r$ into the polynomial.
نعوّض بـ $r$ في كثيرة الحدود.

Answerالإجابة

R = 4

Polynomials_Lesson 5.pdf, slide 21

Example 5مثال 5

Factor theoremنظرية العامل

Are

x + 1

and

x + 2

factors of

P (x) = 3 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 2

هل

x + 1

x + 2

عاملان من عوامل

P (x) = 3 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 2

1

$P (- 1) = - 3 - 7 + 8 + 2 = 0$

For $x + 1$ , $r = - 1$ : $P (- 1) = 0$ , so $x + 1$ is a factor.
للعامل $x + 1$ يكون $r = - 1$ : و $P (- 1) = 0$ ، إذن $x + 1$ عامل.
2

$P (- 2) = - 24 - 28 + 16 + 2 = - 34$

For $x + 2$ , $r = - 2$ : $P (- 2) \neq = 0$ , so $x + 2$ is not a factor.
للعامل $x + 2$ يكون $r = - 2$ : و $P (- 2) \neq = 0$ ، إذن $x + 2$ ليس عاملًا.

Answerالإجابة

x + 1 yes; x + 2 no

Polynomials_Lesson 5.pdf, slides 22–23

Example 6مثال 6

Rational zero theoremنظرية الأصفار النسبية

Find the rational zeros of

P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6

أوجد الأصفار النسبية لـ

P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6

1

$q : \pm 1; p : \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Factors of the leading coefficient (1) and of the constant (6).
عوامل المعامل الرئيسي (1) وعوامل الحد الثابت (6).
2

$P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$

Test candidates: $x = 1$ is a zero, so $(x - 1)$ is a factor.
نختبر الاحتمالات: $x = 1$ صفر، إذن $(x - 1)$ عامل.
3

$1 ∣ 1 - 2 - 5 6 \to 1 - 1 - 6 ∣ 0$

Synthetic division by $x - 1$ gives $x^{2} - x - 6$ .
القسمة التركيبية على $x - 1$ تعطي $x^{2} - x - 6$ .
4

$P (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 2)$

Factor the quadratic.
نحلّل المقدار التربيعي.

Answerالإجابة

x = 1, 3, - 2

Polynomials_Lesson 5.pdf, slide 26

Practice exercisesتمارين تدريبية

Try each one on paper first, then reveal the answer and explanation.حاول حل كل تمرين على الورق أولًا، ثم اكشف الإجابة والشرح.

Interactive quizاختبار تفاعلي

Is each expression a polynomial?

3 x^{2} + 5 x - 1

\frac{x - 1}{x ^{2} + 2}

x - 3

x^{2} - 3 x + 2

هل كل مقدار كثيرة حدود؟

3 x^{2} + 5 x - 1

\frac{x - 1}{x ^{2} + 2}

x - 3

x^{2} - 3 x + 2

Show answerاعرض الإجابة

yes (deg 2); no; no; yes (deg 2)

\frac{x - 1}{x ^{2} + 2}

has the variable in the denominator;

x - 3 = (x - 3)^{1/2}

has a fractional exponent.

\frac{x - 1}{x ^{2} + 2}

فيه المتغير في المقام؛ و

x - 3 = (x - 3)^{1/2}

فيه أس كسري.

Lesson 5 - Polynomials - Full Solutions__All.pdf, Q1

Factor:

5 x (x + 1) - 3 (x + 1)

;

3 a c + b d - 3 a d - b c

;

3 a^{2} - 12 ab - 2 ab + 8 b^{2}

حلّل:

5 x (x + 1) - 3 (x + 1)

3 a c + b d - 3 a d - b c

3 a^{2} - 12 ab - 2 ab + 8 b^{2}

Show answerاعرض الإجابة

(x + 1) (5 x - 3); (c - d) (3 a - b); (a - 4 b) (3 a - 2 b)

Take out the common bracket. For the second, group

(3 a c - 3 a d) + (b d - b c) = 3 a (c - d) - b (c - d)

, using

d - c = - (c - d)

نخرج القوس المشترك. وفي الثاني نجمع

(3 a c - 3 a d) + (b d - b c) = 3 a (c - d) - b (c - d)

باستخدام

d - c = - (c - d)

Lesson 5 - Polynomials - Full Solutions__All.pdf, Q4(iv), Q5(ii), (vi)

Factor:

x^{2} - 10 x y + 9 y^{2}

a^{2} - 5 ab - 14 b^{2}

- x^{2} - 2 x + 3

2 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x

حلّل:

x^{2} - 10 x y + 9 y^{2}

a^{2} - 5 ab - 14 b^{2}

- x^{2} - 2 x + 3

2 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x

Show answerاعرض الإجابة

(x - y) (x - 9 y); (a - 7 b) (a + 2 b); - (x + 3) (x - 1); 2 x (x - 9) (x + 2)

Find two numbers with the right product and sum:

(- 1, - 9)

;

(- 7, 2)

; take out

- 1

then

(3, - 1)

; take out

2 x

then

(- 9, 2)

نجد عددين لهما حاصل الضرب والمجموع المطلوبان:

(- 1, - 9)

(- 7, 2)

؛ نخرج

- 1

ثم

(3, - 1)

؛ نخرج

2 x

ثم

(- 9, 2)

Lesson 5 - Polynomials - Full Solutions__All.pdf, Q6(a), (c), Q7(d), Q8(c)

Factor using special formulas:

8 a^{3} - 1

125 m^{3} + 1000 n^{3}

(x + 1)^{2} - 81

121 - (b - 13)^{2}

حلّل باستخدام الصيغ الخاصة:

8 a^{3} - 1

125 m^{3} + 1000 n^{3}

(x + 1)^{2} - 81

121 - (b - 13)^{2}

Show answerاعرض الإجابة

(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1); 125 (m + 2 n) (m^{2} - 2 mn + 4 n^{2}); (x - 8) (x + 10); (24 - b) (b - 2)

Identify

a

and

b

(2 a)^{3} - 1^{3}

;

125 (m^{3} + (2 n)^{3})

;

(x + 1)^{2} - 9^{2}

;

1 1^{2} - (b - 13)^{2} = [11 - (b - 13)] [11 + (b - 13)]

نحدد

a

b

(2 a)^{3} - 1^{3}

؛ و

125 (m^{3} + (2 n)^{3})

؛ و

(x + 1)^{2} - 9^{2}

؛ و

1 1^{2} - (b - 13)^{2} = [11 - (b - 13)] [11 + (b - 13)]

Lesson 5 - Polynomials - Full Solutions__All.pdf, Special Factoring I(5), (8), (11), II(a)

Use special products to evaluate

16 5^{2} - 6 5^{2}

and

2 7^{2} - 2 \times 27 \times 13 + 1 3^{2}

استخدم الضرب الخاص لحساب

16 5^{2} - 6 5^{2}

2 7^{2} - 2 \times 27 \times 13 + 1 3^{2}

Show answerاعرض الإجابة

23000, 196

(165 - 65) (165 + 65) = 100 \times 230 = 23000

;

(27 - 13)^{2} = 1 4^{2} = 196

(165 - 65) (165 + 65) = 100 \times 230 = 23000

؛ و

(27 - 13)^{2} = 1 4^{2} = 196

Lesson 5 - Polynomials - Full Solutions__All.pdf, Special Factoring III(a), (c)

Expand:

(2 a + b)^{3}

(m - \frac{1}{3})^{3}

(0.1 + 2 x)^{3}

فك:

(2 a + b)^{3}

(m - \frac{1}{3})^{3}

(0.1 + 2 x)^{3}

Show answerاعرض الإجابة

8 a^{3} + 12 a^{2} b + 6 a b^{2} + b^{3}; m^{3} - m^{2} + \frac{1}{3} m - \frac{1}{27}; 8 x^{3} + 1.2 x^{2} + 0.06 x + 0.001

Substitute into

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

نعوّض في

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

Lesson 5 - Polynomials - Full Solutions__All.pdf, V(4), (10), (17)

Long division: divide

3 x^{3} - 5 x^{2} + 10 x - 3

3 x + 1

, and

2 x^{3} - 9 x^{2} + 15

2 x - 5

القسمة المطولة: اقسم

3 x^{3} - 5 x^{2} + 10 x - 3

على

3 x + 1

، و

2 x^{3} - 9 x^{2} + 15

على

2 x - 5

Show answerاعرض الإجابة

x^{2} - 2 x + 4 - \frac{7}{3 x + 1}; x^{2} - 2 x - 5 - \frac{10}{2 x - 5}

Divide leading terms each round:

x^{2}

- 2 x

4

with remainder

- 7

; and (writing

0 x

)

x^{2}

- 2 x

- 5

with remainder

- 10

نقسم الحدين الأولين في كل مرة:

x^{2}

ثم

- 2 x

ثم

4

والباقي

- 7

؛ و(بكتابة

0 x

)

x^{2}

ثم

- 2 x

ثم

- 5

والباقي

- 10

Lesson 5 - Polynomials - Full Solutions__All.pdf, Long Division Q1(a), (b)

List all zeros and the real zeros of

p (x) = (x^{4} - 1) (x^{2} - 4)

اكتب جميع الأصفار والأصفار الحقيقية لـ

p (x) = (x^{4} - 1) (x^{2} - 4)

Show answerاعرض الإجابة

all: \pm 1, \pm 2, \pm i; real: - 2, - 1, 1, 2

(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) (x - 2) (x + 2)

;

x^{2} + 1 = 0

gives

x = \pm - 1 = \pm i

, which are not real.

(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) (x - 2) (x + 2)

؛ و

x^{2} + 1 = 0

تعطي

x = \pm - 1 = \pm i

وهما ليسا حقيقيين.

Lesson 5 - Polynomials - Full Solutions__All.pdf, Q7(2)

Find all rational zeros of

P (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} + 7 x - 6

أوجد جميع الأصفار النسبية لـ

P (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} + 7 x - 6

Show answerاعرض الإجابة

x = - 3, - 2, \frac{1}{2}

P (- 2) = - 16 + 36 - 14 - 6 = 0

, so

P (x) = (x + 2) (2 x^{2} + 5 x - 3) = (x + 2) (2 x - 1) (x + 3)

P (- 2) = - 16 + 36 - 14 - 6 = 0

، إذن

P (x) = (x + 2) (2 x^{2} + 5 x - 3) = (x + 2) (2 x - 1) (x + 3)

Lesson 5 - Polynomials - Full Solutions__All.pdf, Q11(1)

Practice sheet Q5: expand

(x + 3)^{2} - 4

; divide

6 x^{3} + 35 x^{2} + 34 x - 40

x + 3

synthetically; is

x - 2

a factor of

x^{3} - 4 x^{2} + x + 6

ورقة التدريب س5: فك

(x + 3)^{2} - 4

؛ اقسم

6 x^{3} + 35 x^{2} + 34 x - 40

على

x + 3

تركيبيًا؛ هل

x - 2

عامل من عوامل

x^{3} - 4 x^{2} + x + 6

Show answerاعرض الإجابة

x^{2} + 6 x + 5; Q = 6 x^{2} + 17 x - 17, R = 11; yes, p (2) = 0

x^{2} + 6 x + 9 - 4

. Synthetic with

r = - 3

6; 35 - 18 = 17; 34 - 51 = - 17; - 40 + 51 = 11

p (2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0

x^{2} + 6 x + 9 - 4

. القسمة التركيبية مع

r = - 3

6

35 - 18 = 17

34 - 51 = - 17

- 40 + 51 = 11

. و

p (2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0

No printed solution in the source — worked using the lesson methods.لا يوجد حل مطبوع في المصدر — حُلّ بطرق الدرس.

WS26- pm1 practice sheet.pdf, Q5

Source notesملاحظات المصادر

The Lesson 5 title slide reads "Lesson 5: Algebraic Expressions", but the file and all its content are about Polynomials.
شريحة عنوان الدرس 5 مكتوب فيها "Lesson 5: Algebraic Expressions" لكن الملف ومحتواه كله عن كثيرات الحدود.
The "Special Product Formulas" slide prints $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b$ — the last term should be $b^{2}$ (the worksheet uses $b^{2}$ ).
شريحة "صيغ الضرب الخاصة" مكتوب فيها $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b$ — والحد الأخير يجب أن يكون $b^{2}$ (وورقة العمل تستخدم $b^{2}$ ).
In the practice sheet, Q5 is labelled "Learning Outcomes Assessed: Lesson 3", but its content (special products, synthetic division, factor theorem) is Lesson 5.
في ورقة التدريب، السؤال 5 معنون "Lesson 3" لكن محتواه (الضرب الخاص، القسمة التركيبية، نظرية العامل) من الدرس 5.

Learning outcomesنواتج التعلم

Visual guideدليل مرئي

Degree and leading termالدرجة والحد الرئيسي

Synthetic division step by stepالقسمة التركيبية خطوة بخطوة

Zeros on a graph: P(x)=(x−2)2(x+4)الأصفار على الرسم البياني: P(x)=(x−2)2(x+4)

Rational zeros: P(x)=x3−2x2−5x+6الأصفار النسبية: P(x)=x3−2x2−5x+6

Explanationsالشرح

5.1 What is a polynomial?ما كثيرة الحدود؟

5.2 Adding, subtracting and multiplying polynomialsجمع كثيرات الحدود وطرحها وضربها

5.3 Factoring polynomial expressionsتحليل كثيرات الحدود

5.4 Special factoring and product formulasصيغ التحليل والضرب الخاصة

5.5 Long division and synthetic divisionالقسمة المطولة والقسمة التركيبية

5.6 Remainder theorem, factor theorem and zerosنظرية الباقي ونظرية العامل والأصفار

Key terms — English / Arabicالمصطلحات — إنجليزي / عربي

Formulas & rulesالقوانين والقواعد

Worked examplesأمثلة محلولة

Factor a second-degree polynomial (splitting the middle term)تحليل كثيرة حدود من الدرجة الثانية (تجزئة الحد الأوسط)

Long divisionالقسمة المطولة

Synthetic division (same example)القسمة التركيبية (المثال نفسه)

Remainder theoremنظرية الباقي

Factor theoremنظرية العامل

Rational zero theoremنظرية الأصفار النسبية

Practice exercisesتمارين تدريبية

Source notesملاحظات المصادر

Zeros on a graph: $P (x) = (x - 2)^{2} (x + 4)$ الأصفار على الرسم البياني: $P (x) = (x - 2)^{2} (x + 4)$

Rational zeros: $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ الأصفار النسبية: $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$