Lesson 1الدرس 1

Real Numbersالأعداد الحقيقية

Number sets, prime factorization, HCF, LCM and the properties of real numbers.مجموعات الأعداد، التحليل إلى العوامل الأولية، العامل المشترك الأكبر، المضاعف المشترك الأصغر، وخصائص الأعداد الحقيقية.

Practise 20 questionsتدرّب على 20 سؤالًا

Source materials for this lessonمصادر هذا الدرس

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf
Real_Numbers_Practice_Questions.pdf
Real_Numbers_Practice_Solutions_.pdf
WS26- pm1 practice sheet.pdf (Q1)

Learning outcomesنواتج التعلم

01
Describe real number subsets and use their arithmetic properties.
وصف المجموعات الجزئية للأعداد الحقيقية واستخدام خصائصها الحسابية.
02
Perform operations involving real numbers.
إجراء العمليات على الأعداد الحقيقية.
03
Find HCF and LCM using different methods.
إيجاد العامل المشترك الأكبر (HCF) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) بطرق مختلفة.

Visual guideدليل مرئي

Diagrams and graphs of the key ideas, drawn from the examples on the lesson slides.مخططات ورسوم بيانية للأفكار الأساسية، مرسومة من أمثلة شرائح الدرس.

The real number systemنظام الأعداد الحقيقية

$N$ natural ${1, 2, 3, \dots}$ $N$ الطبيعية ${1, 2, 3, \dots}$
$W$ whole — adds $0$ $W$ الكلية — نضيف $0$
$Z$ integers — adds negatives $Z$ الصحيحة — نضيف السالبة
$Q$ rational — $\frac{p}{q}, q \neq = 0$ $Q$ النسبية — $\frac{p}{q}, q \neq = 0$
irrational — not $\frac{p}{q}$ غير النسبية — ليست $\frac{p}{q}$

Each set sits inside the next:

N \subset W \subset Z \subset Q \subset R

. Irrational numbers are real but outside

Q

. The sample numbers are the ones on the slide.

كل مجموعة داخل التي تليها:

N \subset W \subset Z \subset Q \subset R

. الأعداد غير النسبية حقيقية لكنها خارج

Q

. الأمثلة هي الأعداد الموجودة في الشريحة.

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slides 5 & 10

Prime factorization of 84 — two methodsتحليل العدد 84 — طريقتان

2 84

2 42

3 21

Factor tree (left) and repeated division (right) give the same primes:

84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^{2} \times 3 \times 7

. Gold circles are primes — stop there.

شجرة العوامل (يسارًا) والقسمة المتكررة (يمينًا) تعطيان العوامل الأولية نفسها:

84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^{2} \times 3 \times 7

. الدوائر الذهبية أعداد أولية — نتوقف عندها.

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slides 15–16

Integers on the number lineالأعداد الصحيحة على خط الأعداد

negative integersأعداد صحيحة سالبة
zeroالصفر
positive integers $= N$ أعداد صحيحة موجبة $= N$

Integers can be negative, zero or positive. Zero is neither negative nor positive; the natural numbers start at 1.

الأعداد الصحيحة قد تكون سالبة أو صفرًا أو موجبة. الصفر ليس سالبًا ولا موجبًا، والأعداد الطبيعية تبدأ من 1.

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slides 7–8

HCF and LCM of 30 and 45 from prime factorsالعامل المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر للعددين 30 و 45

HCF = 3 \times 5 = 15

LCM = 2 \times 3 \times 5 \times 3 = 90

Shared primes (3 and 5) sit in the overlap. HCF = product of the overlap

= 15

. LCM = product of everything shown

= 2 \times 3 \times 5 \times 3 = 90

العوامل المشتركة (3 و 5) في منطقة التقاطع. العامل المشترك الأكبر = حاصل ضرب التقاطع

= 15

. المضاعف المشترك الأصغر = حاصل ضرب كل العوامل الظاهرة

= 2 \times 3 \times 5 \times 3 = 90

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slides 21 & 25

Explanationsالشرح

1.1 Real numbers and their subsetsالأعداد الحقيقية ومجموعاتها الجزئية

The real numbers $R$ are all numbers that can be placed on the number line. They can be positive or negative, and they consist of rational and irrational numbers.

الأعداد الحقيقية $R$ هي جميع الأعداد التي يمكن تمثيلها على خط الأعداد. قد تكون موجبة أو سالبة، وتتكوّن من الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية.

Rational numbers $Q$ can be written as $\frac{p}{q}$ where $p, q$ are integers and $q \neq = 0$ . Terminating decimals (e.g. $0.25$ ) and repeating decimals (e.g. $0.3333 \dots$ ) are rational.
الأعداد النسبية $Q$ يمكن كتابتها على الصورة $\frac{p}{q}$ حيث $p, q$ عددان صحيحان و $q \neq = 0$ . الكسور العشرية المنتهية (مثل $0.25$ ) والدورية (مثل $0.3333 \dots$ ) أعداد نسبية.
Irrational numbers cannot be written as $\frac{p}{q}$ ; their decimals are non-repeating and non-terminating, e.g. $π$ , $2$ , $- 5$ .
الأعداد غير النسبية لا يمكن كتابتها على الصورة $\frac{p}{q}$ ؛ فكسورها العشرية غير منتهية وغير دورية، مثل $π$ و $2$ و $- 5$ .
Integers $Z = {\dots, - 1, 0, 1, \dots}$ : whole numbers that can be positive, negative or zero.
الأعداد الصحيحة $Z = {\dots, - 1, 0, 1, \dots}$ : أعداد قد تكون موجبة أو سالبة أو صفرًا.
Whole numbers $W = {0, 1, 2, 3, \dots}$ : the positive integers and zero.
الأعداد الكلية $W = {0, 1, 2, 3, \dots}$ : الأعداد الصحيحة الموجبة مع الصفر.
Natural (counting) numbers $N = {1, 2, 3, \dots}$ : positive integers only — they start from 1.
الأعداد الطبيعية (أعداد العدّ) $N = {1, 2, 3, \dots}$ : الأعداد الصحيحة الموجبة فقط، وتبدأ من 1.
The subsets fit inside each other: $N \subset W \subset Z \subset Q \subset R$ . Irrational numbers are real but not rational.
المجموعات متداخلة: $N \subset W \subset Z \subset Q \subset R$ . والأعداد غير النسبية حقيقية لكنها ليست نسبية.
A number with zero in the denominator, such as $\frac{- 43}{0}$ , is undefined — it is not a real number. Likewise $- 4$ is not a real number.
العدد الذي مقامه صفر، مثل $\frac{- 43}{0}$ ، غير معرَّف وليس عددًا حقيقيًا. وكذلك $- 4$ ليس عددًا حقيقيًا.

1.2 Prime and composite numbersالأعداد الأولية والأعداد المؤلفة

A prime number is a positive integer greater than 1 that is divisible only by 1 and itself, e.g. $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ . A positive integer greater than 1 that is not prime is composite.

العدد الأولي عدد صحيح موجب أكبر من 1 لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه، مثل $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ . والعدد الصحيح الموجب الأكبر من 1 غير الأولي يسمى عددًا مؤلفًا.

1 is not a prime: it has only one positive factor, while a prime must have exactly two distinct positive factors (1 and itself).
العدد 1 ليس أوليًا: فله عامل موجب واحد فقط، بينما العدد الأولي له عاملان موجبان مختلفان تمامًا (1 والعدد نفسه).
2 is the only even prime; all other primes are odd.
العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد، وكل الأعداد الأولية الأخرى فردية.
Primes are the building blocks of all numbers through prime factorization.
الأعداد الأولية هي اللبنات الأساسية لكل الأعداد من خلال التحليل إلى العوامل الأولية.

1.3 Prime factorizationالتحليل إلى العوامل الأولية

Prime factorization breaks a number into prime factors that multiply to give the original number. Two methods are used: the division method and the factor tree method.

التحليل إلى العوامل الأولية هو كتابة العدد على صورة حاصل ضرب عوامل أولية. نستخدم طريقتين: طريقة القسمة المتكررة وطريقة شجرة العوامل.

Division method: divide by the smallest prime factor; divide the quotient by the smallest prime again; repeat until the quotient is prime; multiply all prime divisors with the last prime quotient to check.
طريقة القسمة: نقسم على أصغر عامل أولي، ثم نقسم ناتج القسمة على أصغر عدد أولي مرة أخرى، ونكرر حتى يصبح الناتج عددًا أوليًا، ثم نضرب جميع القواسم الأولية في آخر ناتج للتحقق.
Factor tree method: write the number at the top; split it into any two factors; continue splitting until only primes remain at the ends; multiply the primes to check.
طريقة شجرة العوامل: نكتب العدد في الأعلى، ونجزّئه إلى أي عاملين، ونستمر في التجزئة حتى تبقى أعداد أولية فقط في الأطراف، ثم نضربها للتحقق.

1.4 Highest Common Factor (HCF)العامل المشترك الأكبر (HCF)

The HCF of two or more numbers is the greatest factor common to them. HCF = product of the common prime factors: (1) break each number into prime factors, (2) identify the prime factors common to all numbers, (3) multiply the common prime factors.

العامل المشترك الأكبر لعددين أو أكثر هو أكبر عامل يشترك فيه الجميع. وهو يساوي حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة: (1) نحلّل كل عدد إلى عوامله الأولية، (2) نحدد العوامل الأولية المشتركة بين جميع الأعداد، (3) نضرب هذه العوامل المشتركة.

If the HCF of two numbers is 1 they are called co-prime, e.g. 8 and 15.
إذا كان العامل المشترك الأكبر لعددين يساوي 1 فإنهما يسميان أوليين فيما بينهما، مثل 8 و 15.

1.5 Least Common Multiple (LCM)المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

The LCM is the smallest positive integer divisible by two or more natural numbers. Methods: listing multiples, prime factorization (multiply the common prime factors, written once, by the remaining factors), and the highest powers method.

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد صحيح موجب يقبل القسمة على عددين طبيعيين أو أكثر. الطرق: سرد المضاعفات، والتحليل إلى العوامل الأولية (نضرب العوامل المشتركة مرة واحدة في العوامل المتبقية)، وطريقة أعلى الأسس.

Highest powers method: break each number into prime factors, then multiply the highest power of each prime factor.
طريقة أعلى الأسس: نحلّل كل عدد إلى عوامله الأولية، ثم نضرب أعلى قوة لكل عامل أولي.
The "common × remaining" method works well only for two numbers; the highest powers method works for two, three or more numbers.
طريقة "المشترك × المتبقي" تناسب عددين فقط، أما طريقة أعلى الأسس فتصلح لعددين أو ثلاثة أو أكثر.

1.6 Number operations vocabularyمفردات العمليات على الأعداد

Addition → sum, subtraction → difference, multiplication → product, division → quotient. For example, the quotient of 15 divided by 3 is 5: $15 \div 3 = 5$ .

الجمع ← المجموع، الطرح ← الفرق، الضرب ← حاصل الضرب، القسمة ← ناتج القسمة. مثلًا، ناتج قسمة 15 على 3 هو 5: $15 \div 3 = 5$ .

1.7 Properties of real numbersخصائص الأعداد الحقيقية

Closure (result is still real), commutative (order does not change the result), associative (grouping does not change the result), distributive (multiply all), identity (number stays the same) and inverse (go back to the identity).

الانغلاق (الناتج يبقى عددًا حقيقيًا)، الإبدال (تغيير الترتيب لا يغيّر الناتج)، التجميع (تغيير التجميع لا يغيّر الناتج)، التوزيع (نضرب في الكل)، العنصر المحايد (العدد يبقى كما هو)، والنظير (العودة إلى العنصر المحايد).

Commutative and associative hold for addition and multiplication but not for subtraction or division: $4 - 7 \neq = 7 - 4$ , $(10 - 5) - 2 = 3$ but $10 - (5 - 2) = 7$ ; $(20 \div 5) \div 2 = 2$ but $20 \div (5 \div 2) = 8$ .
خاصيتا الإبدال والتجميع صحيحتان للجمع والضرب وليستا صحيحتين للطرح والقسمة: $4 - 7 \neq = 7 - 4$ ، و $(10 - 5) - 2 = 3$ بينما $10 - (5 - 2) = 7$ ؛ و $(20 \div 5) \div 2 = 2$ بينما $20 \div (5 \div 2) = 8$ .
Multiplication distributes over addition and subtraction: $a (b + c) = ab + a c$ and $a (b - c) = ab - a c$ .
الضرب يتوزع على الجمع والطرح: $a (b + c) = ab + a c$ و $a (b - c) = ab - a c$ .
0 is the additive identity and 1 is the multiplicative identity. The additive inverse of $a$ is $- a$ ; the multiplicative inverse (reciprocal) of $a \neq = 0$ is $\frac{1}{a}$ .
الصفر هو المحايد الجمعي والواحد هو المحايد الضربي. النظير الجمعي للعدد $a$ هو $- a$ ، والنظير الضربي (المقلوب) للعدد $a \neq = 0$ هو $\frac{1}{a}$ .
The slides' table also lists the multiplicative property of zero: $a \cdot 0 = 0$ (e.g. $22 \cdot 0 = 0$ ).
يذكر جدول الشرائح أيضًا خاصية الضرب في الصفر: $a \cdot 0 = 0$ (مثل $22 \cdot 0 = 0$ ).

Key terms — English / Arabicالمصطلحات — إنجليزي / عربي

English	العربية
Real numbers	الأعداد الحقيقية
Rational numbers	الأعداد النسبية
Irrational numbers	الأعداد غير النسبية
Integers	الأعداد الصحيحة
Whole numbers	الأعداد الكلية
Natural (counting) numbers	الأعداد الطبيعية (أعداد العدّ)
Subset	مجموعة جزئية
Prime number	عدد أولي
Composite number	عدد مؤلف (غير أولي)
Prime factorization	التحليل إلى العوامل الأولية
Factor tree	شجرة العوامل
Highest Common Factor (HCF)	العامل المشترك الأكبر
Least Common Multiple (LCM)	المضاعف المشترك الأصغر
Co-prime numbers	أعداد أولية فيما بينها
Closure property	خاصية الانغلاق
Commutative property	خاصية الإبدال
Associative property	خاصية التجميع
Distributive property	خاصية التوزيع
Additive / multiplicative identity	المحايد الجمعي / المحايد الضربي
Additive / multiplicative inverse	النظير الجمعي / النظير الضربي
Sum, difference, product, quotient	المجموع، الفرق، حاصل الضرب، ناتج القسمة

Formulas & rulesالقوانين والقواعد

Rational numberالعدد النسبي

Q = {\frac{p}{q} : p, q \in Z, q \neq = 0}

Subset chainتسلسل المجموعات الجزئية

N \subset W \subset Z \subset Q \subset R

Commutativeالإبدال

a + b = b + a, a \times b = b \times a

Associativeالتجميع

(a + b) + c = a + (b + c), (a \times b) \times c = a \times (b \times c)

Distributiveالتوزيع

a (b + c) = ab + a c, a (b - c) = ab - a c

Identityالمحايد

a + 0 = 0 + a = a, a \times 1 = 1 \times a = a

Inverseالنظير

a + (- a) = 0, a \times \frac{1}{a} = 1 (a \neq = 0)

Worked examplesأمثلة محلولة

Each step is explained in English, then in Arabic.كل خطوة مشروحة بالإنجليزية ثم بالعربية.

Example 1مثال 1

Prime factorization of 84 (division method)تحليل العدد 84 إلى عوامله الأولية (طريقة القسمة)

Find the prime factorization of

84

أوجد التحليل الأولي للعدد

84

1

$84 \div 2 = 42$

Divide by the smallest prime, 2.
نقسم على أصغر عدد أولي وهو 2.
2

$42 \div 2 = 21$

42 is even, divide by 2 again.
العدد 42 زوجي، فنقسم على 2 مرة أخرى.
3

$21 \div 3 = 7$

21 is not even; the smallest prime that divides it is 3.
العدد 21 ليس زوجيًا، وأصغر عدد أولي يقسمه هو 3.
4

$7$

Stop: 7 is a prime number.
نتوقف: 7 عدد أولي.

Answerالإجابة

84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^{2} \times 3 \times 7

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slide 15

Example 2مثال 2

Prime factors of 700 (division vs factor tree)العوامل الأولية للعدد 700 (القسمة وشجرة العوامل)

Find the prime factors of

700

أوجد العوامل الأولية للعدد

700

1

$700 \to 350 \to 175 \to 35 \to 7$

Division: divide by 2, 2, 5, 5; the last quotient 7 is prime.
بالقسمة: نقسم على 2 ثم 2 ثم 5 ثم 5، وآخر ناتج هو 7 وهو أولي.
2

$700 = 10 \times 70, 10 = 2 \times 5, 70 = 7 \times 10 = 7 \times 5 \times 2$

Factor tree: split 700 into 10 × 70 and keep splitting until all ends are prime.
بشجرة العوامل: نجزّئ 700 إلى 10 × 70 ونستمر حتى تصبح كل الأطراف أعدادًا أولية.

Answerالإجابة

700 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 = 2^{2} \times 5^{2} \times 7

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slides 17–18

Example 3مثال 3

HCF of 30 and 45العامل المشترك الأكبر للعددين 30 و 45

Find the HCF of

30

and

45

أوجد العامل المشترك الأكبر للعددين

30

45

1

$30 = 2 \times 3 \times 5$

Prime factorization of 30.
تحليل العدد 30.
2

$45 = 3 \times 3 \times 5$

Prime factorization of 45.
تحليل العدد 45.
3

$3 \times 5 = 15$

The common prime factors are 3 and 5; multiply them.
العوامل الأولية المشتركة هي 3 و 5، فنضربهما.

Answerالإجابة

HCF (30, 45) = 15

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slide 21

Example 4مثال 4

LCM of 30 and 45 — two methodsالمضاعف المشترك الأصغر للعددين 30 و 45 — طريقتان

Find the LCM of

30

and

45

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين

30

45

1

$30, 60, 90, 120, \dots 45, 90, 135, \dots$

Method 1 (listing multiples): the smallest common multiple is 90.
الطريقة 1 (سرد المضاعفات): أصغر مضاعف مشترك هو 90.
2

$30 = (3) (5) \times 2, 45 = (3) (5) \times 3$

Method 2 (prime factorization): mark the common factors 3 and 5.
الطريقة 2 (التحليل): نحدد العاملين المشتركين 3 و 5.
3

$3 \times 5 \times 2 \times 3 = 90$

Multiply the common factors (written once) by the remaining factors 2 and 3.
نضرب العوامل المشتركة (مرة واحدة) في العوامل المتبقية 2 و 3.

Answerالإجابة

LCM (30, 45) = 90

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slide 25

Example 5مثال 5

LCM of three numbers — highest powers methodالمضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أعداد — طريقة أعلى الأسس

Find the LCM of

12

18

and

30

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد

12

18

30

1

$12 = 2^{2} \times 3, 18 = 2 \times 3^{2}, 30 = 2 \times 3 \times 5$

Write each number as a product of prime powers.
نكتب كل عدد على صورة حاصل ضرب قوى أولية.
2

$2^{2}, 3^{2}, 5$

Take the highest power of each prime: $2^{2}$ , $3^{2}$ and $5$ .
نأخذ أعلى قوة لكل عدد أولي: $2^{2}$ و $3^{2}$ و $5$ .
3

$2^{2} \times 3^{2} \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$

Multiply them.
نضربها معًا.

Answerالإجابة

LCM (12, 18, 30) = 180

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slide 26

Example 6مثال 6

Subtraction and division are not associativeالطرح والقسمة ليستا تجميعيتين

Compare

(10 - 5) - 2

with

10 - (5 - 2)

, and

(20 \div 5) \div 2

with

20 \div (5 \div 2)

قارن بين

(10 - 5) - 2

10 - (5 - 2)

، وبين

(20 \div 5) \div 2

20 \div (5 \div 2)

1

$(10 - 5) - 2 = 5 - 2 = 3$

Work inside the brackets first.
نبدأ بما داخل الأقواس.
2

$10 - (5 - 2) = 10 - 3 = 7$

Different grouping gives a different result.
تجميع مختلف يعطي ناتجًا مختلفًا.
3

$(20 \div 5) \div 2 = 2, 20 \div (5 \div 2) = 20 \div 2.5 = 8$

The same happens with division.
ويحدث الشيء نفسه مع القسمة.

Answerالإجابة

3 \neq = 7, 2 \neq = 8

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slide 39

Practice exercisesتمارين تدريبية

Try each one on paper first, then reveal the answer and explanation.حاول حل كل تمرين على الورق أولًا، ثم اكشف الإجابة والشرح.

Interactive quizاختبار تفاعلي

Number system table: tick the sets for

- 2

0

18

- \frac{9}{37}

3.050050005 \dots

and

\frac{- 43}{0}

جدول نظام الأعداد: حدّد المجموعات التي ينتمي إليها كل من

- 2

0

18

- \frac{9}{37}

3.050050005 \dots

\frac{- 43}{0}

Show answerاعرض الإجابة

- 2 018 - \frac{9}{37} 3.050050005 \dots \frac{- 43}{0} : Z, Q, R : W, Z, Q, R : N, W, Z, Q, R : Q, R : irrational, R : none (undefined)

0 is whole but not natural (ℕ starts at 1).

- \frac{9}{37}

is a fraction of integers, so rational.

3.050050005 \dots

never terminates or repeats, so it is irrational. Division by 0 is undefined, so

\frac{- 43}{0}

belongs to no set.

الصفر عدد كلي لكنه ليس طبيعيًا (الأعداد الطبيعية تبدأ من 1). العدد

- \frac{9}{37}

كسر بين عددين صحيحين فهو نسبي. العدد

3.050050005 \dots

لا ينتهي ولا يتكرر فهو غير نسبي. القسمة على صفر غير معرّفة، لذا لا ينتمي

\frac{- 43}{0}

إلى أي مجموعة.

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slide 30 (Worksheet 1)

Fill in the blanks: give an example of a number that is (a) rational but not an integer, (b) an integer but not whole, (c) whole but not natural, (d) natural but not an integer.

أكمل الفراغات: أعطِ مثالًا لعدد (أ) نسبي وليس صحيحًا، (ب) صحيح وليس كليًا، (ج) كلي وليس طبيعيًا، (د) طبيعي وليس صحيحًا.

Show answerاعرض الإجابة

(a) \frac{1}{2} (b) - 2 (c) 0 (d) not possible

Every natural number is also an integer (

N \subset Z

), so (d) is impossible.

كل عدد طبيعي هو أيضًا عدد صحيح (

N \subset Z

)، لذلك (د) مستحيل.

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slide 29 (Worksheet 1, Exercise 3)

Find the prime factorization of 360 and of 630.

حلّل العددين 360 و 630 إلى عواملهما الأولية.

Show answerاعرض الإجابة

360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5, 630 = 2 \times 3^{2} \times 5 \times 7

360 = 36 × 10 = (2·2·3·3)(2·5). For 630 by division: 630 → 315 → 105 → 35 → 7, dividing by 2, 3, 3, 5.

360 = 36 × 10 = (2·2·3·3)(2·5). وللعدد 630 بالقسمة: 630 ← 315 ← 105 ← 35 ← 7 بالقسمة على 2 ثم 3 ثم 3 ثم 5.

Real_Numbers_Practice_Questions.pdf + Real_Numbers_Practice_Solutions_.pdf, C3 & C6

Find the HCF of 72 and 108, and the HCF of 84 and 126.

أوجد العامل المشترك الأكبر للعددين 72 و 108، وللعددين 84 و 126.

Show answerاعرض الإجابة

HCF (72, 108) = 36, HCF (84, 126) = 42

72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

and

108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

; common:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36

84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

and

126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

; common:

2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

، والمشترك:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36

. و

84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

، والمشترك:

2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

Real_Numbers_Practice_Questions.pdf + Real_Numbers_Practice_Solutions_.pdf, D1 & D2

Find the LCM of 120 and 144, and the LCM of 24, 36 and 54.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 120 و 144، وللأعداد 24 و 36 و 54.

Show answerاعرض الإجابة

LCM (120, 144) = 720, LCM (24, 36, 54) = 216

120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5

144 = 2^{4} \cdot 3^{2}

→

2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 720

24 = 2^{3} \cdot 3

36 = 2^{2} \cdot 3^{2}

54 = 2 \cdot 3^{3}

→

2^{3} \cdot 3^{3} = 216

(highest powers).

120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5

144 = 2^{4} \cdot 3^{2}

←

2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 720

. و

24 = 2^{3} \cdot 3

36 = 2^{2} \cdot 3^{2}

54 = 2 \cdot 3^{3}

←

2^{3} \cdot 3^{3} = 216

(أعلى الأسس).

Real_Numbers_Practice_Questions.pdf + Real_Numbers_Practice_Solutions_.pdf, E1 & E2

Name the property:

26 + 0 = 26

22 \cdot 0 = 0

3 (9 + 2) = 3 (9) + 3 (2)

4 + (- 4) = 0

16 + (13 + 8) = (16 + 13) + 8

سمِّ الخاصية:

26 + 0 = 26

22 \cdot 0 = 0

3 (9 + 2) = 3 (9) + 3 (2)

4 + (- 4) = 0

16 + (13 + 8) = (16 + 13) + 8

Show answerاعرض الإجابة

additive identity, mult. property of zero, distributive, additive inverse, associative (add.)

Adding 0 leaves a number unchanged (identity); multiplying by 0 gives 0; multiplying a sum term by term is distributive; a number plus its opposite is 0 (inverse); regrouping a sum is associative.

إضافة الصفر لا تغيّر العدد (المحايد الجمعي)، والضرب في الصفر يعطي صفرًا، وضرب مجموع حدًّا حدًّا هو التوزيع، والعدد مع معكوسه يساوي صفرًا (النظير الجمعي)، وإعادة تجميع المجموع هي خاصية التجميع.

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slides 43–44 (Lesson 1 Exercises A)

If the HCF of two numbers is 6 and their LCM is 72, can the two numbers be 12 and 36? Verify.

إذا كان العامل المشترك الأكبر لعددين هو 6 والمضاعف المشترك الأصغر لهما هو 72، فهل يمكن أن يكون العددان 12 و 36؟ تحقّق.

Show answerاعرض الإجابة

No: HCF (12, 36) = 12, LCM (12, 36) = 36

12 = 2^{2} \cdot 3

and

36 = 2^{2} \cdot 3^{2}

. Their actual HCF is

2^{2} \cdot 3 = 12

(not 6) and LCM is

2^{2} \cdot 3^{2} = 36

(not 72).

12 = 2^{2} \cdot 3

36 = 2^{2} \cdot 3^{2}

. العامل المشترك الأكبر الفعلي هو

2^{2} \cdot 3 = 12

(وليس 6)، والمضاعف المشترك الأصغر هو

2^{2} \cdot 3^{2} = 36

(وليس 72).

Real_Numbers_Practice_Questions.pdf + Real_Numbers_Practice_Solutions_.pdf, H2

Quick Check: (1) Is 0 natural, whole, integer, rational or real? (2) Prime factorization of 504. (3) HCF and LCM of 240 and 360. (4) Which operations are commutative and associative?

تحقق سريع: (1) هل الصفر طبيعي أم كلي أم صحيح أم نسبي أم حقيقي؟ (2) حلّل 504. (3) أوجد HCF و LCM للعددين 240 و 360. (4) ما العمليات الإبدالية والتجميعية؟

Show answerاعرض الإجابة

(1) W, Z, Q, R (not N) (2) 504 = 2^{3} \times 3^{2} \times 7 (3) HCF = 120, LCM = 720 (4) addition and multiplication

240 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5

and

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

: HCF takes the lowest powers

2^{3} \cdot 3 \cdot 5 = 120

; LCM takes the highest powers

2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 720

504 = 8 \times 63 = 2^{3} \times 3^{2} \times 7

240 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

: العامل المشترك الأكبر يأخذ أصغر الأسس

2^{3} \cdot 3 \cdot 5 = 120

، والمضاعف المشترك الأصغر يأخذ أعلى الأسس

2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 720

. و

504 = 8 \times 63 = 2^{3} \times 3^{2} \times 7

No printed solution in the source — worked using the lesson methods.لا يوجد حل مطبوع في المصدر — حُلّ بطرق الدرس.

Real_Numbers_Lesson_1_updated.pdf, slide 48 (Quick Check)

Source notesملاحظات المصادر

The practice question sheet jumps from section F to section H (there is no section G).
ورقة أسئلة التدريب تنتقل من القسم F إلى القسم H مباشرة (لا يوجد قسم G).
Several practice solutions (factor trees and divisions) are images; they were read from the rendered pages.
عدة حلول تدريبية (أشجار العوامل والقسمة) مصوّرة، وقد قُرئت من الصفحات بعد عرضها كصور.
The "Quick Check" slide has no printed answers; the answers shown here were worked using the lesson methods.
شريحة "التحقق السريع" بلا إجابات مطبوعة، والإجابات المعروضة هنا حُلّت بطرق الدرس نفسها.