Lesson 4الدرس 4

Algebraic Expressionsالمقادير الجبرية

Variables, constants, coefficients and terms; like terms; evaluating with BODMAS; adding, subtracting and multiplying expressions.المتغيرات والثوابت والمعاملات والحدود؛ الحدود المتشابهة؛ التعويض باستخدام ترتيب العمليات؛ جمع المقادير وطرحها وضربها.

Practise 17 questionsتدرّب على 17 سؤالًا

Source materials for this lessonمصادر هذا الدرس

Algebraic_Expressions - Lesson 4_.pdf
Algebraic Expressions - Exercises with Solutions___.pdf
WS26- pm1 practice sheet.pdf (Q4)

Learning outcomesنواتج التعلم

01
Identify the components of an algebraic expression.
تحديد مكونات المقدار الجبري.
02
Combine like terms and evaluate expressions using BODMAS.
جمع الحدود المتشابهة وحساب قيم المقادير باستخدام ترتيب العمليات.
03
Add, subtract and multiply algebraic expressions.
جمع المقادير الجبرية وطرحها وضربها.

Visual guideدليل مرئي

Diagrams and graphs of the key ideas, drawn from the examples on the lesson slides.مخططات ورسوم بيانية للأفكار الأساسية، مرسومة من أمثلة شرائح الدرس.

Anatomy of an equationمكونات المعادلة

52 x^{2}

-

9 x

termحد

+

36

expressionمقدار جبري

=

7

coefficientمعامل

m

variableمتغير

+

82

constantثابت

equation (two expressions set equal)معادلة (مقداران متساويان)

The left side

52 x^{2} - 9 x + 36

is an expression; setting it equal to

7 m + 82

makes an equation. In

7 m

, 7 is the coefficient and

m

the variable; 82 is a constant term.

الطرف الأيسر

52 x^{2} - 9 x + 36

مقدار جبري، ومساواته بـ

7 m + 82

تجعله معادلة. في

7 m

العدد 7 معامل و

m

متغير، و 82 حد ثابت.

Algebraic_Expressions - Lesson 4_.pdf, slide 2

BODMAS — the order of operationsترتيب العمليات BODMAS

B Brackets — inside groupings firstالأقواس — ما بداخلها أولًا $() [] {}$ 1
O Orders — powers and rootsالقوى والجذور $x^{2},$ 2
D Division — left to rightالقسمة — من اليسار إلى اليمين $\div$ 3
M Multiplication — left to rightالضرب — من اليسار إلى اليمين $\times$ 4
A Addition — left to rightالجمع — من اليسار إلى اليمين $+$ 5
S Subtraction — left to rightالطرح — من اليسار إلى اليمين $-$ 6

Work from the top down. Example:

2 y + 5 (x \div y)

with

x = 6, y = 2

: brackets

6 \div 2 = 3

, multiply

4

and

15

, add →

19

نعمل من الأعلى إلى الأسفل. مثال:

2 y + 5 (x \div y)

عندما

x = 6, y = 2

: الأقواس

6 \div 2 = 3

، ثم الضرب

4

15

، ثم الجمع ←

19

Algebraic_Expressions - Lesson 4_.pdf, slides 12–13

Multiplying two binomials — area modelضرب ثنائيي حد — نموذج المساحة

x

+ 2

x

x^{2}

2 x

+ 3

3 x

6

(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 5 x + 6

Every term of

(x + 3)

multiplies every term of

(x + 2)

: four rectangles

x^{2} + 2 x + 3 x + 6

, which combine to

x^{2} + 5 x + 6

كل حد في

(x + 3)

يُضرب في كل حد في

(x + 2)

: أربعة مستطيلات

x^{2} + 2 x + 3 x + 6

، ومجموعها

x^{2} + 5 x + 6

Algebraic_Expressions - Lesson 4_.pdf, slide 15

Explanationsالشرح

4.1 Basic conceptsمفاهيم أساسية

An algebraic expression is a mathematical statement formed by constants, variables and their combinations using algebraic operations, e.g. $3 x$ , $2 y + 5$ , $x^{2} + 4$ , $2 π r$ , $3 x - 2 y + 5 x y^{2} + 1$ . An equation sets two expressions equal, e.g. $52 x^{2} - 9 x + 36 = 7 m + 82$ .

المقدار الجبري عبارة رياضية مكوّنة من ثوابت ومتغيرات وتركيباتها باستخدام العمليات الجبرية، مثل $3 x$ و $2 y + 5$ و $x^{2} + 4$ و $2 π r$ و $3 x - 2 y + 5 x y^{2} + 1$ . أما المعادلة فتساوي بين مقدارين، مثل $52 x^{2} - 9 x + 36 = 7 m + 82$ .

Variable: a quantity that can take different values (an unknown), usually $x, y, z$ — e.g. the temperature at different times of the day.
المتغير: كمية يمكن أن تأخذ قيمًا مختلفة (مجهول)، ويرمز له عادة بـ $x, y, z$ — مثل درجة الحرارة في أوقات مختلفة من اليوم.
Constant: a quantity with a fixed value, often $a, b, c$ — e.g. $π = 3.14159 \dots$ , the ratio of a circle's circumference to its diameter.
الثابت: كمية ذات قيمة ثابتة، ويرمز له غالبًا بـ $a, b, c$ — مثل $π = 3.14159 \dots$ وهي نسبة محيط الدائرة إلى قطرها.
Coefficient: the constant multiplying the variable in a term, including its sign. In $3 x - 2 y + 5 x y^{2} + 1$ : the coefficient of $x$ is 3, of $y$ is $- 2$ , of $x y^{2}$ is 5.
المعامل: الثابت المضروب في المتغير داخل الحد، مع إشارته. في $3 x - 2 y + 5 x y^{2} + 1$ : معامل $x$ هو 3، ومعامل $y$ هو $- 2$ ، ومعامل $x y^{2}$ هو 5.
Term: a number, a variable, or numbers and variables combined by multiplication/division. Terms are separated by + or − signs: $3 x$ , $- 2 y$ , $5 x y^{2}$ , $1$ (1 is the constant term).
الحد: عدد أو متغير أو أعداد ومتغيرات مرتبطة بالضرب أو القسمة. تفصل بين الحدود إشارتا + و −: $3 x$ و $- 2 y$ و $5 x y^{2}$ و $1$ (العدد 1 هو الحد الثابت).

4.2 Like and unlike termsالحدود المتشابهة وغير المتشابهة

Like terms have exactly the same variables raised to the same powers ( $3 x$ and $5 x$ ; $2 y^{2}$ and $- 7 y^{2}$ ; $x^{2} y$ and $5 x^{2} y$ ). Unlike terms differ in variables or exponents ( $3 x$ and $5 y$ ; $2 x$ and $2 x^{2}$ ; $x^{2} y$ and $x y^{2}$ ).

الحدود المتشابهة لها المتغيرات نفسها بالأسس نفسها تمامًا ( $3 x$ و $5 x$ ؛ $2 y^{2}$ و $- 7 y^{2}$ ؛ $x^{2} y$ و $5 x^{2} y$ ). الحدود غير المتشابهة تختلف في المتغيرات أو الأسس ( $3 x$ و $5 y$ ؛ $2 x$ و $2 x^{2}$ ؛ $x^{2} y$ و $x y^{2}$ ).

Like terms are combined by adding/subtracting their coefficients: $3 x + 5 x = 8 x$ , $2 y^{2} - 7 y^{2} = - 5 y^{2}$ . $3 x + 5 y$ and $2 x + 2 x^{2}$ cannot be combined.
تُجمع الحدود المتشابهة بجمع معاملاتها أو طرحها: $3 x + 5 x = 8 x$ و $2 y^{2} - 7 y^{2} = - 5 y^{2}$ . أما $3 x + 5 y$ و $2 x + 2 x^{2}$ فلا يمكن جمعهما.

4.3 Evaluating expressions (BODMAS)حساب قيمة المقادير (ترتيب العمليات)

To evaluate, substitute the given values, simplify using BODMAS (Brackets, Orders/powers and roots, Division, Multiplication, Addition, Subtraction — D/M and A/S left to right), then calculate.

لحساب القيمة: نعوّض بالقيم المعطاة، ثم نبسّط وفق ترتيب العمليات BODMAS (الأقواس، ثم القوى والجذور، ثم القسمة والضرب، ثم الجمع والطرح — من اليسار إلى اليمين)، ثم نحسب الناتج.

Example: $x^{2} y + x y^{2}$ at $x = 2, y = 3$ : $(2)^{2} (3) + (2) (3)^{2} = 12 + 18 = 30$ .
مثال: $x^{2} y + x y^{2}$ عندما $x = 2, y = 3$ : $(2)^{2} (3) + (2) (3)^{2} = 12 + 18 = 30$ .

4.4 Adding, subtracting and multiplyingالجمع والطرح والضرب

When subtracting an expression in brackets, change the sign of every term inside: $a - (b + c) = a - b - c$ and $a - (b - c) = a - b + c$ . Then group and combine like terms.

عند طرح مقدار بين قوسين نغيّر إشارة كل حد داخل القوس: $a - (b + c) = a - b - c$ و $a - (b - c) = a - b + c$ . ثم نجمع الحدود المتشابهة.

Single term × multi-term: distribute to every term: $2 x (3 x + 4) = 6 x^{2} + 8 x$ .
حد واحد × عدة حدود: نوزّع على كل حد: $2 x (3 x + 4) = 6 x^{2} + 8 x$ .
Multi-term × multi-term: every term of the first multiplies every term of the second: $(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 = x^{2} + 5 x + 6$ .
عدة حدود × عدة حدود: كل حد في الأول يُضرب في كل حد في الثاني: $(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 = x^{2} + 5 x + 6$ .

Key terms — English / Arabicالمصطلحات — إنجليزي / عربي

English	العربية
Algebraic expression	مقدار جبري
Equation	معادلة
Variable	متغير
Constant	ثابت
Coefficient	معامل
Term	حد
Constant term	الحد الثابت
Like terms	حدود متشابهة
Unlike terms	حدود غير متشابهة
Evaluate / substitute	احسب القيمة / عوّض
Order of operations (BODMAS)	ترتيب العمليات
Distributive property	خاصية التوزيع

Formulas & rulesالقوانين والقواعد

Subtracting bracketsطرح الأقواس

a - (b + c) = a - b - c, a - (b - c) = a - b + c

Distributive propertyخاصية التوزيع

a (b + c) = ab + a c, a (b - c) = ab - a c

Two binomialsضرب ثنائيي حد

(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 5 x + 6

Square: area & perimeterالمربع: المساحة والمحيط

A = x^{2}, P = 4 x

Rectangle: area & perimeterالمستطيل: المساحة والمحيط

A = l w, P = 2 (l + w)

Worked examplesأمثلة محلولة

Each step is explained in English, then in Arabic.كل خطوة مشروحة بالإنجليزية ثم بالعربية.

Example 1مثال 1

Components of an expressionمكونات مقدار جبري

Identify the components of

3 x - 2 y + 5 x y^{2} + 1

حدّد مكونات المقدار

3 x - 2 y + 5 x y^{2} + 1

1

Variables: $x, y$ . Coefficients: $3, - 2, 5$ . Constant term: $1$ .
المتغيرات: $x, y$ . المعاملات: $3, - 2, 5$ . الحد الثابت: $1$ .
2

Operations: subtraction and addition. Exponent: $y^{2}$ .
العمليات: الطرح والجمع. الأس: $y^{2}$ .
3

Four terms separated by + or −: $3 x$ , $- 2 y$ , $5 x y^{2}$ , $1$ .
أربعة حدود تفصلها + أو −: $3 x$ و $- 2 y$ و $5 x y^{2}$ و $1$ .

Answerالإجابة

4 terms: 3 x, - 2 y, 5 x y^{2}, 1

Algebraic_Expressions - Lesson 4_.pdf, slide 8

Example 2مثال 2

BODMAS with substitutionترتيب العمليات مع التعويض

Evaluate

2 y + 5 (x \div y)

when

x = 6

y = 2

احسب قيمة

2 y + 5 (x \div y)

عندما

x = 6

y = 2

1

$2 (2) + 5 (6 \div 2)$

Substitute the values.
نعوّض بالقيم.
2

$2 (2) + 5 (3)$

Brackets first: $6 \div 2 = 3$ .
الأقواس أولًا: $6 \div 2 = 3$ .
3

$4 + 15$

Multiply.
نضرب.
4

$19$

Add.
نجمع.

Answerالإجابة

19

Algebraic_Expressions - Lesson 4_.pdf, slide 13

Example 3مثال 3

Subtracting expressionsطرح المقادير

Subtract

5 x - 6 y

from

5 y - 7 x

اطرح

5 x - 6 y

من

5 y - 7 x

1

$(5 y - 7 x) - (5 x - 6 y)$

"Subtract A from B" means B − A.
"اطرح A من B" تعني B − A.
2

$5 y - 7 x - 5 x + 6 y$

Change the sign of every term in the second bracket.
نغيّر إشارة كل حد في القوس الثاني.
3

$- 12 x + 11 y$

Combine like terms: $- 7 x - 5 x = - 12 x$ , $5 y + 6 y = 11 y$ .
نجمع الحدود المتشابهة: $- 7 x - 5 x = - 12 x$ و $5 y + 6 y = 11 y$ .

Answerالإجابة

- 12 x + 11 y

Algebraic Expressions - Exercises with Solutions___.pdf, Q6

Example 4مثال 4

Multiplying a binomial by a trinomialضرب ثنائي حد في ثلاثي حد

Multiply

(2 x - 3) (2 x^{2} + 3 x - 2)

اضرب

(2 x - 3) (2 x^{2} + 3 x - 2)

1

$2 x (2 x^{2} + 3 x - 2) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x$

Multiply by the first term $2 x$ .
نضرب في الحد الأول $2 x$ .
2

$- 3 (2 x^{2} + 3 x - 2) = - 6 x^{2} - 9 x + 6$

Multiply by the second term $- 3$ .
نضرب في الحد الثاني $- 3$ .
3

$4 x^{3} + (6 x^{2} - 6 x^{2}) + (- 4 x - 9 x) + 6$

Add and combine like terms.
نجمع ونختصر الحدود المتشابهة.

Answerالإجابة

4 x^{3} - 13 x + 6

Algebraic Expressions - Exercises with Solutions___.pdf, Q14(h)

Practice exercisesتمارين تدريبية

Try each one on paper first, then reveal the answer and explanation.حاول حل كل تمرين على الورق أولًا، ثم اكشف الإجابة والشرح.

Interactive quizاختبار تفاعلي

x = 7

y = 3

z = 9

, evaluate

10 - \frac{x z}{9}

7 z - (y + x)

and

5 z - 3 x - 2 y

إذا كان

x = 7

y = 3

z = 9

، فاحسب

10 - \frac{x z}{9}

7 z - (y + x)

5 z - 3 x - 2 y

Show answerاعرض الإجابة

3, 53, 18

10 - \frac{63}{9} = 10 - 7 = 3

;

63 - 10 = 53

;

45 - 21 - 6 = 18

10 - \frac{63}{9} = 10 - 7 = 3

؛ و

63 - 10 = 53

؛ و

45 - 21 - 6 = 18

Algebraic Expressions - Exercises with Solutions___.pdf, Q1(b), (c), (e)

For

a = 3

b = 2

find

a^{3} - b^{3}

and

a^{2} + 2 ab + b^{2}

إذا كان

a = 3

b = 2

فأوجد

a^{3} - b^{3}

a^{2} + 2 ab + b^{2}

Show answerاعرض الإجابة

19, 25

27 - 8 = 19

;

9 + 12 + 4 = 25

27 - 8 = 19

؛ و

9 + 12 + 4 = 25

Algebraic Expressions - Exercises with Solutions___.pdf, Q3(ii), (iii)

Apply the distributive property:

- 7 (y - 2)

and

- 9 (5 x - 6 y + 8)

طبّق خاصية التوزيع:

- 7 (y - 2)

- 9 (5 x - 6 y + 8)

Show answerاعرض الإجابة

- 7 y + 14, - 45 x + 54 y - 72

Multiply every term by the outside number, keeping track of signs:

(- 7) (- 2) = + 14

and

(- 9) (- 6 y) = + 54 y

نضرب كل حد في العدد الخارجي مع الانتباه للإشارات:

(- 7) (- 2) = + 14

(- 9) (- 6 y) = + 54 y

Algebraic Expressions - Exercises with Solutions___.pdf, Q4(iii), (v)

Simplify:

3 x^{2} - 6 y^{2} + 5 x^{2} - 8 y^{2} + 2

and

7 (2 a + 1) + 4 (5 a - 1)

بسّط:

3 x^{2} - 6 y^{2} + 5 x^{2} - 8 y^{2} + 2

7 (2 a + 1) + 4 (5 a - 1)

Show answerاعرض الإجابة

8 x^{2} - 14 y^{2} + 2, 34 a + 3

Group like terms:

(3 x^{2} + 5 x^{2}) + (- 6 y^{2} - 8 y^{2}) + 2

. Expand:

14 a + 7 + 20 a - 4 = 34 a + 3

نجمع الحدود المتشابهة:

(3 x^{2} + 5 x^{2}) + (- 6 y^{2} - 8 y^{2}) + 2

. ونفك الأقواس:

14 a + 7 + 20 a - 4 = 34 a + 3

Algebraic Expressions - Exercises with Solutions___.pdf, Q8(iv), Q9(iv)

Simplify

p - (p - q) - q - (q - p)

and

3 x (2 x + 3) + 6 x - 8 x^{2} + 5

بسّط

p - (p - q) - q - (q - p)

3 x (2 x + 3) + 6 x - 8 x^{2} + 5

Show answerاعرض الإجابة

p - q, - 2 x^{2} + 15 x + 5

p - p + q - q - q + p = p - q

6 x^{2} + 9 x + 6 x - 8 x^{2} + 5 = - 2 x^{2} + 15 x + 5

p - p + q - q - q + p = p - q

. و

6 x^{2} + 9 x + 6 x - 8 x^{2} + 5 = - 2 x^{2} + 15 x + 5

Algebraic Expressions - Exercises with Solutions___.pdf, Q12(iii), (vi)

P (x) = 2 x^{2} - x + 1

, find

P (0)

P (1)

P (2)

and

P (- 1)

إذا كان

P (x) = 2 x^{2} - x + 1

فأوجد

P (0)

P (1)

P (2)

P (- 1)

Show answerاعرض الإجابة

1, 2, 7, 4

Substitute each value:

P (2) = 2 (4) - 2 + 1 = 7

;

P (- 1) = 2 (1) + 1 + 1 = 4

نعوّض بكل قيمة:

P (2) = 2 (4) - 2 + 1 = 7

؛ و

P (- 1) = 2 (1) + 1 + 1 = 4

Algebraic Expressions - Exercises with Solutions___.pdf, Q13

Multiply:

(x - 4) (x + 5) (x - 2)

and

x (x + 1) (2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 1)

اضرب:

(x - 4) (x + 5) (x - 2)

x (x + 1) (2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 1)

Show answerاعرض الإجابة

x^{3} - x^{2} - 22 x + 40, 2 x^{5} - x^{4} - 2 x^{3} - x

(x - 4) (x + 5) = x^{2} + x - 20

, then

\times (x - 2)

. For the second:

(x + 1) (2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 1) = 2 x^{4} - x^{3} - 2 x^{2} - 1

, then multiply by

x

(x - 4) (x + 5) = x^{2} + x - 20

ثم نضرب في

(x - 2)

. وللثاني:

(x + 1) (2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 1) = 2 x^{4} - x^{3} - 2 x^{2} - 1

ثم نضرب في

x

Algebraic Expressions - Exercises with Solutions___.pdf, Q15(a), (c)

Write the area and perimeter of a square of side

x

and of a rectangle with length

l

and width

w

اكتب مساحة ومحيط مربع طول ضلعه

x

، ومستطيل طوله

l

وعرضه

w

Show answerاعرض الإجابة

A = x^{2}, P = 4 x; A = l w, P = 2 l + 2 w = 2 (l + w)

Area = side² for a square, length × width for a rectangle; perimeter adds all four sides.

مساحة المربع = مربع طول الضلع، ومساحة المستطيل = الطول × العرض؛ والمحيط هو مجموع الأضلاع الأربعة.

Algebraic Expressions - Exercises with Solutions___.pdf, Q16–17

Practice sheet Q4: subtract

2 x - 4 x y + 1

from

9 y - 3 x

; evaluate

2 a b^{2} - \frac{4 b}{a} + 10

when

a = 2

b = 3

ورقة التدريب س4: اطرح

2 x - 4 x y + 1

من

9 y - 3 x

؛ واحسب

2 a b^{2} - \frac{4 b}{a} + 10

عندما

a = 2

b = 3

Show answerاعرض الإجابة

- 5 x + 9 y + 4 x y - 1, 40

(9 y - 3 x) - (2 x - 4 x y + 1) = 9 y - 3 x - 2 x + 4 x y - 1

. Then

2 (2) (9) - \frac{12}{2} + 10 = 36 - 6 + 10 = 40

(9 y - 3 x) - (2 x - 4 x y + 1) = 9 y - 3 x - 2 x + 4 x y - 1

. ثم

2 (2) (9) - \frac{12}{2} + 10 = 36 - 6 + 10 = 40

No printed solution in the source — worked using the lesson methods.لا يوجد حل مطبوع في المصدر — حُلّ بطرق الدرس.

WS26- pm1 practice sheet.pdf, Q4

Source notesملاحظات المصادر

The worksheet's Q14 has no part (d) — it goes from (c) to (e).
السؤال 14 في ورقة العمل ليس فيه جزء (d) — ينتقل من (c) إلى (e).