Lesson 3الدرس 3

Exponents and Radicalsالأسس والجذور

Laws of exponents, rational exponents, radicals in simplified form, scientific notation and rationalizing denominators.قوانين الأسس، الأسس النسبية، الجذور في أبسط صورة، الصيغة العلمية، وإنطاق المقام.

Practise 18 questionsتدرّب على 18 سؤالًا

Source materials for this lessonمصادر هذا الدرس

Exponents_and_Radicals - Lesson 3_30.09.2026.pdf
Exponents and Radicals - Exercises with Solutions_updated.pdf
WS26- pm1 practice sheet.pdf (Q3)

Learning outcomesنواتج التعلم

01
Use exponent laws to simplify powers, including negative and zero exponents.
استخدام قوانين الأسس لتبسيط القوى، بما فيها الأسس السالبة والصفرية.
02
Connect rational exponents with radicals and simplify radical expressions.
الربط بين الأسس النسبية والجذور وتبسيط المقادير الجذرية.
03
Write numbers in scientific notation and rationalize denominators.
كتابة الأعداد بالصيغة العلمية وإنطاق المقامات.

Visual guideدليل مرئي

Diagrams and graphs of the key ideas, drawn from the examples on the lesson slides.مخططات ورسوم بيانية للأفكار الأساسية، مرسومة من أمثلة شرائح الدرس.

Reading a rational exponentقراءة الأس النسبي

b^{m / n} = (n b)^{m}

8^{2 / 3} = (38)^{2} = 2^{2} = 4

base = radicandالأساس = ما تحت الجذر
$m$ — the power $m$ — القوة
$n$ — the root index $n$ — دليل الجذر

The denominator

n

of the exponent is the root index; the numerator

m

is the power. Example:

8^{2/3} = (38)^{2} = 2^{2} = 4

مقام الأس

n

هو دليل الجذر، والبسط

m

هو القوة. مثال:

8^{2/3} = (38)^{2} = 2^{2} = 4

Exponents_and_Radicals - Lesson 3_30.09.2026.pdf, slides 7–10

Brackets change the baseالأقواس تغيّر الأساس

(- 3)^{2}

(- 3) \times (- 3)

- 3^{2}

- (3 \times 3)

−9

With brackets the negative sign is part of the base; without brackets only 3 is squared.

مع الأقواس تكون الإشارة السالبة جزءًا من الأساس، وبدونها يُربَّع العدد 3 فقط.

Exponents_and_Radicals - Lesson 3_30.09.2026.pdf, slide 11

Scientific notation: count the decimal-point hopsالصيغة العلمية: عُدّ قفزات الفاصلة العشرية

7540 = 7.54 \times 1 0^{3}

3 places left → power +33 منازل لليسار ← الأس +3

0.00045 = 4.5 \times 1 0^{- 4}

4 places right → power −44 منازل لليمين ← الأس −4

original decimal pointموضع الفاصلة الأصلي
new decimal pointموضع الفاصلة الجديد

Move the point until exactly one non-zero digit is in front of it (

1 \leq a < 10

). The number of hops is the power of 10: left hops give a positive power, right hops a negative power.

انقل الفاصلة حتى يبقى رقم واحد غير صفري قبلها (

1 \leq a < 10

). عدد القفزات هو أس العدد 10: القفزات لليسار تعطي أسًا موجبًا، ولليمين أسًا سالبًا.

Exponents_and_Radicals - Lesson 3_30.09.2026.pdf, slides 14–15

Why the conjugate removes the radicalsلماذا يزيل المرافق الجذور

(7 + 5) (7 - 5)

= 77 - 75 + 57 - 55

= 7 - 5 = 2

\frac{6}{7 + 5} \cdot \frac{7 - 5}{7 - 5} = \frac{6 ( 7 - 5 )}{2}

Multiplying

a + b

by its conjugate

a - b

: the two middle terms cancel, leaving

a - b

with no radicals. That is why it is the rationalizing factor.

عند ضرب

a + b

في مرافقه

a - b

يُلغى الحدان الأوسطان ويبقى

a - b

بلا جذور، ولهذا يكون عامل الإنطاق.

Exponents_and_Radicals - Lesson 3_30.09.2026.pdf, slides 18–20

Explanationsالشرح

3.1 Exponentsالأسس

Repeated multiplication is written with exponents: $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{5}$ (5 is the exponent, 3 is the base). For $n$ a positive integer: $a^{n} = a \cdot a \dots a$ ( $n$ factors), $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ and $a^{0} = 1$ ( $a \neq = 0$ ).

يُكتب الضرب المتكرر باستخدام الأسس: $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{5}$ (العدد 5 هو الأس و 3 هو الأساس). إذا كان $n$ عددًا صحيحًا موجبًا: $a^{n} = a \cdot a \dots a$ ( $n$ من العوامل)، و $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ و $a^{0} = 1$ ( $a \neq = 0$ ).

A negative exponent means reciprocal: $(\frac{1}{5})^{- 1} = 5$ .
الأس السالب يعني المقلوب: $(\frac{1}{5})^{- 1} = 5$ .
Watch the parentheses with negative bases: $(- 3)^{2} = 9$ (the sign is part of the base) but $- 3^{2} = - (3 \times 3) = - 9$ . Likewise $- 7^{0} = - 1$ while $(- 7)^{0} = 1$ .
انتبه للأقواس مع الأساس السالب: $(- 3)^{2} = 9$ (الإشارة جزء من الأساس) بينما $- 3^{2} = - (3 \times 3) = - 9$ . وكذلك $- 7^{0} = - 1$ بينما $(- 7)^{0} = 1$ .

3.2 Rules for exponentsقوانين الأسس

For integers $m, n$ and real numbers $a, b$ : product rule, power of a power, power of a product, power of a quotient, and the quotient rule (top-subtraction or bottom-subtraction method).

لأي عددين صحيحين $m, n$ وعددين حقيقيين $a, b$ : قانون الضرب، قوة القوة، قوة حاصل الضرب، قوة ناتج القسمة، وقانون القسمة (بطريقة الطرح في البسط أو الطرح في المقام).

Product: $4^{6} \cdot 4^{- 9} = 4^{6 + (- 9)} = 4^{- 3}$ . Power of a power: $(2^{4})^{- 3} = 2^{- 12}$ .
الضرب: $4^{6} \cdot 4^{- 9} = 4^{6 + (- 9)} = 4^{- 3}$ . قوة القوة: $(2^{4})^{- 3} = 2^{- 12}$ .
Quotient (top subtraction): $\frac{2 ^{4}}{2 ^{- 3}} = 2^{4 - (- 3)} = 2^{7}$ . (Bottom subtraction: $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = \frac{1}{a ^{n - m}}$ .)
القسمة (الطرح في البسط): $\frac{2 ^{4}}{2 ^{- 3}} = 2^{4 - (- 3)} = 2^{7}$ . (الطرح في المقام: $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = \frac{1}{a ^{n - m}}$ .)

3.3 Rational exponents and radicalsالأسس النسبية والجذور

For natural numbers $m, n$ and real $b$ (with $b \geq 0$ when $n$ is even): $b^{m / n} = (b^{1/ n})^{m}$ and $b^{- m / n} = \frac{1}{b ^{m / n}}$ . $b^{1/ n}$ is the $n$ -th root of $b$ , written $n b$ ; the symbol is a radical, and for $n = 2$ we write $b$ .

لأي عددين طبيعيين $m, n$ وعدد حقيقي $b$ (بشرط $b \geq 0$ عندما يكون $n$ زوجيًا): $b^{m / n} = (b^{1/ n})^{m}$ و $b^{- m / n} = \frac{1}{b ^{m / n}}$ . والمقدار $b^{1/ n}$ هو الجذر النوني للعدد $b$ ويُكتب $n b$ ؛ والرمز يسمى الجذر، وعندما $n = 2$ نكتب $b$ .

Examples: $4^{3/2} = (4^{1/2})^{3} = 2^{3} = 8$ ; $4^{- 3/2} = \frac{1}{8}$ ; $(- 32)^{3/5} = (- 2)^{3} = - 8$ ; $(- 27)^{2/3} = (- 3)^{2} = 9$ ; $(- 4)^{3/2}$ is not real.
أمثلة: $4^{3/2} = (4^{1/2})^{3} = 2^{3} = 8$ ؛ $4^{- 3/2} = \frac{1}{8}$ ؛ $(- 32)^{3/5} = (- 2)^{3} = - 8$ ؛ $(- 27)^{2/3} = (- 3)^{2} = 9$ ؛ أما $(- 4)^{3/2}$ فليس عددًا حقيقيًا.
A rational exponent connects powers and roots: $1 6^{- 3/4} = \frac{1}{( 1 6 ^{1/4} ) ^{3}} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ .
الأس النسبي يربط بين القوى والجذور: $1 6^{- 3/4} = \frac{1}{( 1 6 ^{1/4} ) ^{3}} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ .

3.4 Properties of radicals and simplified formخصائص الجذور والصورة المبسطة

For $n$ a natural number greater than 1 and positive reals $x, y$ : $n x^{n} = x$ , $n x y = n x n y$ , $n \frac{x}{y} = \frac{n x}{n y}$ .

لأي عدد طبيعي $n$ أكبر من 1 وعددين حقيقيين موجبين $x, y$ : $n x^{n} = x$ ، و $n x y = n x n y$ ، و $n \frac{x}{y} = \frac{n x}{n y}$ .

A radical expression is in simplified form when: (1) no radicand has a factor to a power ≥ the index ( $x^{5}$ violates); (2) no power of the radicand shares a common factor with the index ( $6 x^{4}$ violates); (3) no radical is in a denominator ( $\frac{y}{x}$ violates); (4) no fraction is inside a radical ( $5 \frac{2}{3}$ violates).
يكون المقدار الجذري في أبسط صورة عندما: (1) لا يحتوي ما تحت الجذر على عامل أسه أكبر من أو يساوي دليل الجذر ( $x^{5}$ يخالف ذلك)؛ (2) لا يشترك أس ما تحت الجذر مع دليل الجذر في عامل غير 1 ( $6 x^{4}$ يخالف ذلك)؛ (3) لا يوجد جذر في المقام ( $\frac{y}{x}$ يخالف ذلك)؛ (4) لا يوجد كسر تحت الجذر ( $5 \frac{2}{3}$ يخالف ذلك).
Like radicals combine like like terms: $32 + 2 - 52 = - 2$ .
الجذور المتشابهة تُجمع مثل الحدود المتشابهة: $32 + 2 - 52 = - 2$ .

3.5 Scientific notationالصيغة العلمية

Any positive decimal number can be written as $a \times 1 0^{n}$ where $1 \leq a < 10$ and $n$ is an integer: $7540 = 7.54 \times 1 0^{3}$ , $4260000 = 4.26 \times 1 0^{6}$ , $0.07 = 7 \times 1 0^{- 2}$ , $0.00045 = 4.5 \times 1 0^{- 4}$ .

يمكن كتابة أي عدد عشري موجب على الصورة $a \times 1 0^{n}$ حيث $1 \leq a < 10$ و $n$ عدد صحيح: $7540 = 7.54 \times 1 0^{3}$ ، $4260000 = 4.26 \times 1 0^{6}$ ، $0.07 = 7 \times 1 0^{- 2}$ ، $0.00045 = 4.5 \times 1 0^{- 4}$ .

Back to standard form: move the point right for positive $n$ and left for negative $n$ : $8.24 \times 1 0^{4} = 82400$ , $7.3 \times 1 0^{- 5} = 0.000073$ .
للعودة إلى الصورة العادية: ننقل الفاصلة يمينًا إذا كان $n$ موجبًا ويسارًا إذا كان سالبًا: $8.24 \times 1 0^{4} = 82400$ و $7.3 \times 1 0^{- 5} = 0.000073$ .

3.6 Rationalizing the denominatorإنطاق المقام

Eliminating a radical from a denominator is called rationalizing the denominator. Multiply numerator and denominator by a suitable rationalizing factor. If the denominator is $a + b$ , use $a - b$ (and vice versa), because $(a + b) (a - b) = a - b$ .

إزالة الجذر من المقام تسمى إنطاق المقام. نضرب البسط والمقام في عامل إنطاق مناسب. إذا كان المقام $a + b$ نستخدم $a - b$ (والعكس)، لأن $(a + b) (a - b) = a - b$ .

For a single radical: $\frac{2}{5} = \frac{2}{5} \times \frac{5}{5} = \frac{2 5}{5}$ .
لجذر واحد: $\frac{2}{5} = \frac{2}{5} \times \frac{5}{5} = \frac{2 5}{5}$ .

Key terms — English / Arabicالمصطلحات — إنجليزي / عربي

English	العربية
Exponent (power, index)	الأس (القوة)
Base	الأساس
Negative exponent	الأس السالب
Rational (fractional) exponent	الأس النسبي (الكسري)
Radical	الجذر
Radicand	ما تحت الجذر
Index of a radical	دليل الجذر
n-th root	الجذر النوني
Simplified radical form	الصورة الجذرية المبسطة
Scientific notation	الصيغة العلمية
Rationalizing the denominator	إنطاق المقام
Rationalizing factor / conjugate	عامل الإنطاق / المرافق

Formulas & rulesالقوانين والقواعد

Product ruleقانون الضرب

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

Power of a powerقوة القوة

(a^{n})^{m} = a^{mn}

Power of a productقوة حاصل الضرب

(ab)^{m} = a^{m} b^{m}

Power of a quotientقوة ناتج القسمة

(\frac{a}{b})^{m} = \frac{a ^{m}}{b ^{m}} (b \neq = 0)

Quotient ruleقانون القسمة

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n} = \frac{1}{a ^{n - m}} (a \neq = 0)

Negative and zero exponentsالأس السالب والصفري

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, a^{0} = 1 (a \neq = 0)

Rational exponentsالأسس النسبية

b^{m / n} = (b^{1/ n})^{m} = (n b)^{m}, b^{- m / n} = \frac{1}{b ^{m / n}}

Radical propertiesخصائص الجذور

n x^{n} = x, n x y = n x n y, n \frac{x}{y} = \frac{n x}{n y}

Scientific notationالصيغة العلمية

a \times 1 0^{n}, 1 \leq a < 10, n \in Z

Conjugate productحاصل ضرب المرافقين

(a + b) (a - b) = a - b

Worked examplesأمثلة محلولة

Each step is explained in English, then in Arabic.كل خطوة مشروحة بالإنجليزية ثم بالعربية.

Example 1مثال 1

Rational exponentsالأسس النسبية

Simplify

8^{2/3}

and

4 3^{12}

بسّط

8^{2/3}

4 3^{12}

1

$8^{2/3} = (8^{1/3})^{2} = 2^{2} = 4$

Take the cube root first, then square.
نأخذ الجذر التكعيبي أولًا ثم نربّع.
2

$4 3^{12} = 3^{12/4} = 3^{3} = 27$

Write the root as a fractional exponent.
نكتب الجذر على صورة أس كسري.

Answerالإجابة

4, 27

Exponents_and_Radicals - Lesson 3_30.09.2026.pdf, slides 9–10

Example 2مثال 2

Multiplying radicals with different indicesضرب جذور مختلفة الدليل

Simplify

(3 3 x) (2 x)

using positive exponents.

بسّط

(3 3 x) (2 x)

باستخدام أسس موجبة.

1

$(3 x^{1/3}) (2 x^{1/2})$

Convert both radicals to exponents.
نحوّل الجذرين إلى أسس.
2

$6 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = 6 x^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}}$

Multiply coefficients; add exponents (product rule).
نضرب المعاملات ونجمع الأسس (قانون الضرب).
3

$6 x^{5/6}$

Simplify the exponent.
نبسّط الأس.

Answerالإجابة

6 x^{5/6}

Exponents_and_Radicals - Lesson 3_30.09.2026.pdf, slide 10 (c)

Example 3مثال 3

Power of a quotient with fractional exponentsقوة ناتج قسمة بأسس كسرية

Simplify

(\frac{4 x ^{1/3}}{x ^{1/2}})^{1/2}

بسّط

(\frac{4 x ^{1/3}}{x ^{1/2}})^{1/2}

1

$\frac{4 ^{1/2} x ^{1/6}}{x ^{1/4}}$

Raise every factor to the power $\frac{1}{2}$ .
نرفع كل عامل للقوة $\frac{1}{2}$ .
2

$2 x^{\frac{1}{6} - \frac{1}{4}} = 2 x^{- \frac{1}{12}}$

$4^{1/2} = 2$ ; subtract exponents: $\frac{2}{12} - \frac{3}{12} = - \frac{1}{12}$ .
$4^{1/2} = 2$ ؛ ونطرح الأسس: $\frac{2}{12} - \frac{3}{12} = - \frac{1}{12}$ .
3

$\frac{2}{x ^{1/12}}$

Make the exponent positive.
نجعل الأس موجبًا.

Answerالإجابة

\frac{2}{x ^{1/12}}

Exponents_and_Radicals - Lesson 3_30.09.2026.pdf, slide 10 (d)

Example 4مثال 4

Negative exponents with variablesالأسس السالبة مع المتغيرات

Simplify

(2 a^{- 3} b^{2})^{- 2}

with positive exponents.

بسّط

(2 a^{- 3} b^{2})^{- 2}

بأسس موجبة.

1

$2^{- 2} (a^{- 3})^{- 2} (b^{2})^{- 2}$

Power of a product: apply $- 2$ to each factor.
قوة حاصل الضرب: نطبّق الأس $- 2$ على كل عامل.
2

$2^{- 2} a^{6} b^{- 4}$

Power of a power: multiply exponents.
قوة القوة: نضرب الأسس.
3

$\frac{a ^{6}}{4 b ^{4}}$

Move negative powers to the denominator.
ننقل القوى السالبة إلى المقام.

Answerالإجابة

\frac{a ^{6}}{4 b ^{4}}

Exponents and Radicals - Exercises with Solutions_updated.pdf, Q1(l)

Example 5مثال 5

Simplifying a radicalتبسيط جذر

Express

25 x^{5} y^{2} z^{3}

in simplified form.

اكتب

25 x^{5} y^{2} z^{3}

في أبسط صورة.

1

$25 x^{5} y^{2} z^{3} = (25) (x^{4}) (y^{2}) (z^{2}) (x z)$

Split off the perfect squares.
نفصل المربعات الكاملة.
2

$25 x^{4} y^{2} z^{2} x z$

Use $x y = x y$ .
نستخدم $x y = x y$ .
3

$5 x^{2} y z x z$

Take the square roots.
نأخذ الجذور التربيعية.

Answerالإجابة

5 x^{2} y z x z

Exponents and Radicals - Exercises with Solutions_updated.pdf, Q7(a)

Example 6مثال 6

Rationalizing with a conjugateالإنطاق باستخدام المرافق

Rationalize

\frac{6}{7 + 5}

أنطق مقام

\frac{6}{7 + 5}

1

$\frac{6}{7 + 5} \cdot \frac{7 - 5}{7 - 5}$

Multiply top and bottom by the conjugate $7 - 5$ .
نضرب البسط والمقام في المرافق $7 - 5$ .
2

$\frac{6 ( 7 - 5 )}{7 - 5}$

The denominator becomes $a - b = 7 - 5$ .
يصبح المقام $a - b = 7 - 5$ .
3

$\frac{6 ( 7 - 5 )}{2} = 3 (7 - 5)$

Simplify (the slide stops at $\frac{6 ( 7 - 5 )}{2}$ ; dividing by 2 is the final simplification).
نبسّط (تتوقف الشريحة عند $\frac{6 ( 7 - 5 )}{2}$ ؛ والقسمة على 2 هي التبسيط النهائي).

Answerالإجابة

3 (7 - 5)

Exponents_and_Radicals - Lesson 3_30.09.2026.pdf, slide 20 (a)

Example 7مثال 7

Rationalizing $\frac{a + b}{a - b}$ إنطاق $\frac{a + b}{a - b}$

Rationalize

\frac{a + b}{a - b}

أنطق مقام

\frac{a + b}{a - b}

1

$\frac{a + b}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b}$

Multiply by the conjugate of the denominator.
نضرب في مرافق المقام.
2

$\frac{a + a b + b a + b}{a - b} = \frac{a + 2 ab + b}{a - b}$

Expand the numerator; the denominator is $a - b$ .
نفك البسط؛ والمقام يساوي $a - b$ .

Answerالإجابة

\frac{a + 2 ab + b}{a - b}

Exponents_and_Radicals - Lesson 3_30.09.2026.pdf, slide 20 (b)

Practice exercisesتمارين تدريبية

Try each one on paper first, then reveal the answer and explanation.حاول حل كل تمرين على الورق أولًا، ثم اكشف الإجابة والشرح.

Interactive quizاختبار تفاعلي

Evaluate:

- 7^{0}

1^{- 3} + 3^{- 1}

4^{- 1} + 4^{2}

\frac{8}{8 ^{- 2}}

احسب:

- 7^{0}

1^{- 3} + 3^{- 1}

4^{- 1} + 4^{2}

\frac{8}{8 ^{- 2}}

Show answerاعرض الإجابة

- 1, \frac{4}{3}, \frac{65}{4}, 512

- 7^{0} = - (7^{0}) = - 1

1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

\frac{1}{4} + 16 = \frac{65}{4}

8 \times 8^{2} = 8^{3} = 512

- 7^{0} = - (7^{0}) = - 1

. و

1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

. و

\frac{1}{4} + 16 = \frac{65}{4}

. و

8 \times 8^{2} = 8^{3} = 512

Exponents and Radicals - Exercises with Solutions_updated.pdf, Q1(d), (h), (i), (j)

Simplify with positive exponents:

(5 x)^{2} (2 x)^{- 3}

(3 x^{4} y^{- 3})^{- 2}

\frac{4 x ^{- 3} y ^{- 5}}{6 x ^{- 4} y ^{3}}

بسّط بأسس موجبة:

(5 x)^{2} (2 x)^{- 3}

(3 x^{4} y^{- 3})^{- 2}

\frac{4 x ^{- 3} y ^{- 5}}{6 x ^{- 4} y ^{3}}

Show answerاعرض الإجابة

\frac{25}{8 x}, \frac{y ^{6}}{9 x ^{8}}, \frac{2 x}{3 y ^{8}}

25 x^{2} \cdot \frac{1}{8 x ^{3}} = \frac{25}{8 x}

3^{- 2} x^{- 8} y^{6} = \frac{y ^{6}}{9 x ^{8}}

\frac{2}{3} x^{- 3 - (- 4)} y^{- 5 - 3} = \frac{2}{3} x y^{- 8}

25 x^{2} \cdot \frac{1}{8 x ^{3}} = \frac{25}{8 x}

. و

3^{- 2} x^{- 8} y^{6} = \frac{y ^{6}}{9 x ^{8}}

. و

\frac{2}{3} x^{- 3 - (- 4)} y^{- 5 - 3} = \frac{2}{3} x y^{- 8}

Exponents and Radicals - Exercises with Solutions_updated.pdf, Q1(k), (m), (v)

Simplify:

(\frac{4 x ^{- 2}}{y ^{4}})^{- 1/2}

and

(\frac{8 a ^{- 4} b ^{3}}{27 a ^{2} b ^{- 3}})^{1/3}

بسّط:

(\frac{4 x ^{- 2}}{y ^{4}})^{- 1/2}

(\frac{8 a ^{- 4} b ^{3}}{27 a ^{2} b ^{- 3}})^{1/3}

Show answerاعرض الإجابة

\frac{1}{2} x y^{2}, \frac{2 b ^{2}}{3 a ^{2}}

4^{- 1/2} (x^{- 2})^{- 1/2} (y^{- 4})^{- 1/2} = \frac{1}{2} x y^{2}

. Inside the second:

a^{- 6} b^{6}

, then

(\frac{8}{27})^{1/3} a^{- 2} b^{2} = \frac{2}{3} a^{- 2} b^{2}

4^{- 1/2} (x^{- 2})^{- 1/2} (y^{- 4})^{- 1/2} = \frac{1}{2} x y^{2}

. وداخل الثاني:

a^{- 6} b^{6}

، ثم

(\frac{8}{27})^{1/3} a^{- 2} b^{2} = \frac{2}{3} a^{- 2} b^{2}

Exponents and Radicals - Exercises with Solutions_updated.pdf, Q2(d), (e)

Simplify:

\frac{40}{10}

\frac{12}{4 3}

3 6 x^{2} y \times 3 4 x^{5} y^{2}

3 27 x^{12}

بسّط:

\frac{40}{10}

\frac{12}{4 3}

3 6 x^{2} y \times 3 4 x^{5} y^{2}

3 27 x^{12}

Show answerاعرض الإجابة

2, \frac{1}{2}, 2 x^{2} y 3 3 x, 3 x^{4}

4 = 2

;

\frac{2 3}{4 3} = \frac{1}{2}

;

3 24 x^{7} y^{3} = 3 8 x^{6} y^{3} \cdot 3 x = 2 x^{2} y 3 3 x

;

3 3^{3} (x^{4})^{3} = 3 x^{4}

4 = 2

؛ و

\frac{2 3}{4 3} = \frac{1}{2}

؛ و

3 24 x^{7} y^{3} = 3 8 x^{6} y^{3} \cdot 3 x = 2 x^{2} y 3 3 x

؛ و

3 3^{3} (x^{4})^{3} = 3 x^{4}

Exponents and Radicals - Exercises with Solutions_updated.pdf, Q6, Q7(c), (d)

Scientific notation: write

0.0000000586

and

256950000

in scientific notation; write

4.1 \times 1 0^{- 12}

in decimal form.

الصيغة العلمية: اكتب

0.0000000586

256950000

بالصيغة العلمية؛ واكتب

4.1 \times 1 0^{- 12}

بالصيغة العشرية.

Show answerاعرض الإجابة

5.86 \times 1 0^{- 8}, 2.5695 \times 1 0^{8}, 0.0000000000041

Move the point until

1 \leq a < 10

, counting the places: 8 to the right gives

1 0^{- 8}

; 8 to the left gives

1 0^{8}

. For

1 0^{- 12}

move the point 12 places left.

ننقل الفاصلة حتى يصبح

1 \leq a < 10

ونعدّ المنازل: 8 منازل لليمين تعطي

1 0^{- 8}

، و 8 منازل لليسار تعطي

1 0^{8}

. ولـ

1 0^{- 12}

ننقل الفاصلة 12 منزلة لليسار.

Exponents and Radicals - Exercises with Solutions_updated.pdf, Q8(a), (b), Q9(b)

Rationalize:

\frac{1}{3 + 1}

\frac{6}{2 - 1}

\frac{2}{3 + 2}

أنطق المقام:

\frac{1}{3 + 1}

\frac{6}{2 - 1}

\frac{2}{3 + 2}

Show answerاعرض الإجابة

\frac{3 - 1}{2}, 62 + 6, 23 - 22

Multiply by the conjugate each time; denominators become

3 - 1 = 2

2 - 1 = 1

and

3 - 2 = 1

نضرب في المرافق في كل مرة؛ فتصبح المقامات

3 - 1 = 2

2 - 1 = 1

3 - 2 = 1

Exponents and Radicals - Exercises with Solutions_updated.pdf, Q10(b), (c), (d)

Practice sheet Q3: simplify

(\frac{8 a ^{5}}{27 b ^{3}})^{1/3}

3 (3 x) 4 (2 x)^{3}

, and rationalize

\frac{x}{3 x - 3}

ورقة التدريب س3: بسّط

(\frac{8 a ^{5}}{27 b ^{3}})^{1/3}

3 (3 x) 4 (2 x)^{3}

، وأنطق مقام

\frac{x}{3 x - 3}

Show answerاعرض الإجابة

\frac{2 a ^{5/3}}{3 b}, 12 x^{11/6}, \frac{x ( 3 x + 3 )}{9 x ^{2} - 3}

\frac{8 ^{1/3} a ^{5/3}}{2 7 ^{1/3} b} = \frac{2 a ^{5/3}}{3 b}

12 x^{1/3} x^{3/2} = 12 x^{2/6 + 9/6} = 12 x^{11/6}

. Multiply by the conjugate

3 x + 3

: denominator

(3 x)^{2} - (3)^{2} = 9 x^{2} - 3

\frac{8 ^{1/3} a ^{5/3}}{2 7 ^{1/3} b} = \frac{2 a ^{5/3}}{3 b}

. و

12 x^{1/3} x^{3/2} = 12 x^{2/6 + 9/6} = 12 x^{11/6}

. ونضرب في المرافق

3 x + 3

: فيصبح المقام

(3 x)^{2} - (3)^{2} = 9 x^{2} - 3

No printed solution in the source — worked using the lesson methods.لا يوجد حل مطبوع في المصدر — حُلّ بطرق الدرس.

WS26- pm1 practice sheet.pdf, Q3

Source notesملاحظات المصادر

Two copies of the Lesson 3 slides and of the Lesson 3 worksheet were found; each pair is byte-for-byte identical, so each was used once.
وُجدت نسختان من شرائح الدرس 3 ونسختان من ورقة عمله، وكل نسختين متطابقتان تمامًا، لذا استُخدمت كل منهما مرة واحدة.
The worksheet answer to Q3 is written " $- 12$ ", i.e. $- 2$ .
إجابة السؤال 3 في ورقة العمل مكتوبة " $- 12$ " أي $- 2$ .

Learning outcomesنواتج التعلم

Visual guideدليل مرئي

Reading a rational exponentقراءة الأس النسبي

Brackets change the baseالأقواس تغيّر الأساس

Scientific notation: count the decimal-point hopsالصيغة العلمية: عُدّ قفزات الفاصلة العشرية

Why the conjugate removes the radicalsلماذا يزيل المرافق الجذور

Explanationsالشرح

3.1 Exponentsالأسس

3.2 Rules for exponentsقوانين الأسس

3.3 Rational exponents and radicalsالأسس النسبية والجذور

3.4 Properties of radicals and simplified formخصائص الجذور والصورة المبسطة

3.5 Scientific notationالصيغة العلمية

3.6 Rationalizing the denominatorإنطاق المقام

Key terms — English / Arabicالمصطلحات — إنجليزي / عربي

Formulas & rulesالقوانين والقواعد

Worked examplesأمثلة محلولة

Rational exponentsالأسس النسبية

Multiplying radicals with different indicesضرب جذور مختلفة الدليل

Power of a quotient with fractional exponentsقوة ناتج قسمة بأسس كسرية

Negative exponents with variablesالأسس السالبة مع المتغيرات

Simplifying a radicalتبسيط جذر

Rationalizing with a conjugateالإنطاق باستخدام المرافق

Rationalizing a​−b​a​+b​​إنطاق a​−b​a​+b​​

Practice exercisesتمارين تدريبية

Source notesملاحظات المصادر

Rationalizing $\frac{a + b}{a - b}$ إنطاق $\frac{a + b}{a - b}$